M. M. Mirsaidov, P. J. Matkarimov, A. M. Godovannikov materiallar

N

ω

/EF=-6·2+4·3/EF=0, ya’ni masalani to‘g‘ri 

yechilganlik sharti 

N

 epyura yuzasining nolga tengligidir. Ushbu tasdiq 

cho‘zilish-siqilishdagi bikrligi (

EF=const

) o‘zgarmas bo‘lgan sterjenlar 

uchun o‘rinli.  

Cho‘zilish-siqilishga ishlovchi sistema deformatsiyalanish 

jarayonida statik noaniq sistemaga aylanib qolish hollari mavjud (10.36-

rasm). 

 

 

10.36-rasm. 

Δ

 oraliqli yuqoriga osilgan sterjenli sistema. 

 

Sterjen 

A

 nuqtasining ko‘chishi 

Δ

 oraliq kattaligiga    yetguncha 

sistema statik aniq bo‘ladi. Oraliq bekilganda 

A

  nuqta erkin 

ko‘cholmaydi va sistema statik noaniqqa aylanadi. Bu holda kanonik 

tenglama ko‘rinishi  

X

1

δ

11

+ 

Δ

1P

=

Δ

 ko‘rinishda bo‘ladi. 

Kanonik tenglamani tuzayotganda 

Δ

 ishorasiga e’tibor berish 

kerak. Agar 

A

 nuqta ko‘chishi 

X

1

 kuch yo‘nalishi bilan ustma-ust 

tushmasa, u holda 

Δ

 ishorasi (–) olinadi. 

Misol tariqasida oldingi masalani sterjen pastki uchi va tayanch 

orasidagi 0,05 

sm

 li oraliq mavjud deb olamiz. Sterjen po‘latdan 

yasalgan, ko‘ndalang kesim yuzasi 10 

sm

2

 ga teng (10.37

-

rasm) 

 

10.37-rasm. 

Δ

 oraliqli yuqoriga osilgan sterjenli sistemaning hisobi. 

 

A

 nuqtaning erkin holatda, pastki tayanch bo‘lmagandagi ko‘chishi 

(IV-bob, 3

-§

 ga qarang) 

Δ

A 

= Nl/EF 

= 10000 

kg

·300 

sm /

 2·10

6

 

kg sm

2

·10 

sm

2

 = 0,15 

sm

 

---

 

273

Mos ravishda sterjen 0,05 

sm

 ga uzayganda sistema statik 

noaniqqa aylanadi. 

Asosiy sistema, birlik va tashqi yuk epyuralari, yuk va birlik 

ta’siridan ko‘chishlar xuddi oldingi misol kabi bo‘ladi. 

Ular qiymatini kanonik tenglamaga qo‘ysak  

EF

P

EF

X

5

=-0,05 

sm

 

δ

11

=5/EF, 

P

1

Δ

=-30/EF IX-bobda cho‘zilish-siqilishdagi 

aniqlanuvchi ko‘chish o‘lchami 

,

5

11

EF

tm

=

δ

 

EF

tm

P

30

1

=

Δ

 ga teng edi. 

Kattaliklarni kilogramm va santimetrlarga o‘tkazib, qiymatlarini 

kanonik tenglamaga qo‘yamiz.  

X

1

·500000 

kg·sm

 – 3000000 

kg·sm

 = -0,05

 sm

·2·10

6

kg/sm

2

·10

sm

2

 

bu yerdan,  

X

1

=4. 

To‘la yuklanishdagi asosiy sistemani tuzib, 

N

 

epyurasini quramiz 

(10.37-rasm). Natijani tekshirish uchun 

N

   

epyurasini birlik kuch 

epyurasiga ko‘paytiramiz. 

 

-6·3·/EF+4·2·1/EF = -10

t·m

/EF = 1000000

kgsm

/2·10

6

kg/sm

2

·10

sm

2 

= 

= -0,05

sm 

= 

Δ

 

 

Cho‘zilish-siqilishga ishlovchi shunday statik noaniq sistemalar 

mavjudki, ular bir nechta sterjenni sharnirlar yordamida tutashtirishdan 

hosil  bo‘ladi, masalan, 10.38-rasmda keltirilgan sxema. 

 

10.38-rasm. Statik noaniq sharnirli sterjenli sistema. 

 

Sterjenda hosil  bo‘luvchi bo‘ylama kuchlar noma’lum 

hisoblanadi. Tekis sistemada zo‘riqishlar soni tenglamalar soniga teng 

bo‘lishi kerak, bizni misolda kuchlar uchrashuvchi kuch sistemasi 

bo‘lgani uchun sistema noaniqlik darajasi 1 ga teng. (10.1) ifodadan 

n=3·2–2·0–5=1 natijani olish mumkin. 

---

 

274

Sharnirlardan birini tashlab yuborib, uni zo‘riqish kuchi bilan 

almashtiramiz va asosiy sistemani tuzamiz (10.39-rasm). Bu kabi 

konstruksiyalarda asosiy sistemaning o‘ziga xos jihati rasman 

X

1

 kuch 

bo‘lmaganda u geometrik jihatdan o‘zgaruvchi bo‘ladi. 

 

 

10.39-rasm. Berilgan sterjen uchun asosiy sistema. 

 

Kanonik tenglama ko‘rinishi 

0

1

11

1

=

Δ

+

P

Õ

δ

 

Birlik kuch (10.40

a

-rasm) va tashqi yuk (10.40

b

-rasm) 

epyuralarini quramiz. 

 

 

10.40-rasm. Sterjenning hisobi: 

a) birlik kuch epyurasi; b) tashqi kuch epyurasi. 

 

Birlik kuch ta’siridan 

,

0

30

sin

30

sin

0

2

0

1

=

+

−

=

∑

N

N

Х

  

2

1

N

N

=

 

0

30

cos

30

cos

1

0

3

0

2

=

+

+

=

∑

N

N

Y

,  

585

.

0

3

2

−

=

=

N

N

 

Tashqi yuk ta’siridan 

585

,

0

3

2

−

=

=

N

N

  

Kanonik tenglamaga kiruvchi ko‘chishlarni aniqlaymiz 

;

68

,

1

585

,

0

585

,

0

1

1

585

,

0

585

,

0

11

EF

EF

EF

EF

l

l

l

l

=

⋅

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

⋅

=

δ

 

EF

P

EF

Ð

EF

Ð

P

l

l

l

68

,

0

585

,

0

585

,

0

0

585

,

0

585

,

0

1

−

=

⋅

⋅

−

+

⋅

⋅

−

=

Δ

; 

---

 

275

P

P

X

4

,

0

68

,

1

68

,

0

1

=

=

l

l

. 

 

 

10.41-rasm. Bo‘ylama kuch epyurasini qurish: 

a) yakuniy bo‘ylama kuch epyurasi; 

b) tugunga ta’sir qiluvchi kuchlar. 

 

Birlik kuch epyurasini olingan kattalikka ko‘paytirib, uni tashqi 

yuk epyurasi bilan qo‘shamiz va 

N

 epyurasini olamiz (10.41-rasm). 

Natijani tekshirish uchun tashqi yuk va sterjen hosil bo‘lgan ichki 

kuchlar bilan yuklangan tugun muvozanatini ko‘ramiz (10.41

b

-rasm). 

0

)

30

cos

35

,

0

(

2

4

,

0

0

=

−

+

=

∑

P

P

P

Y

 

Demak sterjendagi zo‘riqishlar to‘g‘ri topilgan  

Shunday qilib, ixtiyoriy sondagi sterjenlardan, turli uzunlikdagi va 

cho‘zilish-siqilishda turli xil bikrlikka ega bo‘lgan sistemalarda 

zo‘riqishlarni topish mumkin ekan. 

Yechilgan masala kabi yana bitta masalani ko‘raylik. 10.42-rasmda 

keltirilgan sterjenlar konstruksiyasidagi zo‘riqishlar topish talab etilsin. 

Ushbu masalaning o‘ziga xos jihati shundan iboratki, bir qarashda 

tashqi yuk ta’sirida uch sterjendagi zo‘riqish nolga tengga o‘xshaydi. 

Oldingi masala kabi sharnirlardan birini tashlab yuborib, uni 

ta’sirini zo‘riqish bilan almashtiramiz va asosiy sistemani tuzamiz 

(10.43-rasm). 

Kanonik tenglama ko‘rinishi 

1

X

11

δ

 + 

P

1

Δ

= 0 

Sterjenlardagi zo‘riqishlarni topib, bo‘ylama kuchlarning 

X

1

=1 

kuch (10.44-rasm) va tashqi yuk (10.45-rasm) ta’siridan epyuralarini 

quramiz. 

---

 

276

    

         

 

 

10.42-rasm. Statik noaniq 

sterjenli sistema. 

 

10.43-rasm. Statik noaniq sterjen 

uchun tanlangan asosiy sistema. 

 

1. Birlik kuch ta’siridan 

                  

∑

X = 1 – N

1

cos45

0 

= 0        N

1

= 1,4 

                  

∑

Y = N

1

cos45

0 

+ N

2

= 0      N

2

= -1. 

 

 

10.44-rasm. Birlik kuch ta’siridan qurilgan bo‘ylama kuch epyurasi. 

 

2. Tashqi yuk ta’siridan 

                  

∑

X = -N

1

 cos45

0

 = 0        N

1

= 0      

 

         

∑

Y = N

2

– P = 0                N

2

= P 

11

δ

=

EF

4

.

1

4

.

1

⋅

⋅

l

+

EF

1

1

⋅

⋅

l

+

EF

1

1

⋅

⋅

l

=

EF

l

96

,

3

 

Р

1

Δ

= - 

EF

Р

1

⋅

⋅

l

= -

EF

Р

l

⋅

 

Demak, 

X

=0,25 

P

 ga teng ekan 

 

 

10.45-rasm. Tashqi yuk ta’siridan qurilgan epyura. 

---

 

277

 

X

1 

=1 epyurasini olingan kattalikka ko‘paytirib, 

M

P

 epyurasi bilan 

qo‘shib 

N

 epyurasini hosil  qilamiz (10.46-rasm). 

   

 

 

 

      

         

 

10.46-rasm. Yakuniy 

bo‘ylama kuch epyurasi. 

 10.47-rasm. 

Murakkab 

deformatsiyaga ishlovchi sterjenli 

sistema. 

 

Shunday sistemalar mavjudki, ularning bir qismi cho‘zilish-

siqilishga ishlaydi. 10.47-rasmda ana shunday sistemalarga misol 

keltirilgan. (Masala va uning yechimi V.I.Feodosyevning «Materiallar 

qarshiligi» darsligidan olindi). 

Rama  uchun  eguvchi  momentlar  epyurasini  qurish talab  etilsin 

(10.47-rasm). Ramaning  

A

 va  

B

  nuqtalari   o‘zaro  cho‘zilishdagi  

bikrligi   

E

0

F

0

  

bo‘lgan   sterjen  bilan  bog‘langan . Sistema  noaniqlik  

darajasi  1 ga teng. 

Yuqori  nuqtalarda  

AB

 sterjenni  kesib, asosiy  sistemani  quramiz 

( 10.48

a

-rasm). So‘ngra  berilgan  kuchlar  momentlari epyurasini  

quramiz ( 10.48

b,d-

rasmlar). Undan  tashqari  

AB

 bo‘lakda  cho‘zilishini  

hisobga olib 

N

1

 normal  kuch  epyurasini  quramiz.    

 

10.48-rasm. Murakkab deformatsiyaga ishlovchi sterjenli sistema hisobi: 

a) asosiy sistema; b) tashqi kuch epyurasi; d) birlik kuch epyurasi.

 

 

Kanonik  tenglama  X

1

δ

11 

+

∆

1P 

=

 

0 koeffitsientlarini  hisoblash  

uchun  cho‘zuvchi  kuch, eguvchi  moment epyuralarini ko‘paytiramiz.  

---

 

278

0

0

3

0

0

11

3

5

3

3

F

E

EI

F

E

EI

EI

EI

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

+

=

+

⋅

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

⋅

=

δ

 

P

1

Δ

=

 -

EI

P

3

l

l

l

⋅

⋅

+

EI

P

2

l

l

l

⋅

⋅

=

EI

Pl

6

3

 

X

 ni topamiz      

X

1

=

 -

11

1

δ

P

Δ

=

2

0

0

5

3

1

1

2

l

F

E

EI

Р

+

 

Sterjendagi zo‘riqish rama egilishdagi bikrligini 

AB

 sterjenni 

cho‘zilishdagi bikrligiga nisbatiga bog‘liq ekan. Agar 

AB

 sterjen bikrligi 

yuqori bo‘lsa, u holda 

X

1

=

P/2

 va sterjin 

P

 kuch yarmiga teng zo‘riqish 

oladi. Agar sterjen bikrligi past bo‘lsa, u holda 

X

→

0

 va 

P

 kuchni butun 

rama qabul qiladi. 

 

10.49-rasmda rama eguvchi momentlari epyurasi va uning egilgan 

o‘qi shakli ko‘rsatilgan. 

Buralishga ishlovchi statik noaniq sistemalarni yechishda kuch 

usuli bilan hisoblashning umumiy tartibi saqlanib qoladi. 

 

 

10.49-rasm. Eguvchi moment epyurasi. 

 

 

Kanonik tenglamaga kiruvchi ko‘chishlar Mor usuli bilan quyidagi 

ifodadan aniqlanuvchi buralish burchaklariga teng. 

Δ

=

∫

е

b

Р

b

dz

G

I

М

М

0

1

ρ

 

yoki Vereshchagin qoidasi bilan qurilgan burovchi momentlar 

epyurasiga teng. 

 Cho‘zilish-siqilishdagi 

kabi 

Vereshchagin qoidasini qo‘llash qulay, 

chunki burovchi momentlar epyuralari to‘g‘ri to‘rtburchakdan iborat. 

Bunday tipdagi masalalarga misol sifatida ikkala tomoni qistirib 

---

 

279

mahkamlangan, tashqi burovchi momentlar qo‘yilgan, doirasimon 

sterjenni ko‘raylik (10.50

a-

rasm). 

Berilgan sistema umumiy holda fazoviy va statik noaniqlik darajasi 

6 ga teng, ammo berilgan yuk ta’sirida faqat 

X

1

 burovchi moment 

noma’lum xolos, ya’ni sistema noaniqlik darajasi 1 ga teng. 

 

Sistema biror uchini bo‘shatib, unga 

X

1

 burovchi momentni 

qo‘yamiz va asosiy sistemani tuzamiz (10.50

b

-rasm).  

 Kanonik 

tenglama 

ko‘rinishi. 

X

1

δ

11

+

P

1

Δ

=

0 

 Birlik 

kuch 

(10.50

d

-rasm) va tashqi yuk (10.50

e

-rasm) epyuralarini 

quramiz. 

δ

11

=

G

I

ρ

)

4

,

0

4

,

0

2

,

0

(

1

1

+

+

⋅

⋅

=

G

I

ρ

1

 

 

 

10.50-rasm. Statik noaniq valni kuch usulida hisoblash: 

a) berilgan sistema; b) asosiy sistema; d) birlik kuch epyurasi; e) tashqi kuch 

epyurasi; f) sistemaning hisob sxemasi; g) yakuniy burovchi moment epyurasi. 

 

 

P

1

Δ

=

G

I

G

I

ρ

ρ

4

,

0

800

2

,

0

200

⋅

+

⋅

=

G

I

ρ

360

,  

X

1

=

 -

11

1

δ

P

Δ

=

 

-360 kg m

 

 

Yechimdagi (–) ishora o‘ng tayanchdagi reaktiv moment yo‘nalishi 

X

1

 momenti yo‘nalishiga qarama-qarshi ekanligini bildiradi. Asosiy 

---

 

280

sistemani shu moment va tashqi yuk bilan yuklab, burovchi momentlar 

yakuniy epyurasini quramiz (10.50

f

-rasm). 

 

Burovchi momentlar yakuniy epyurasini birlik kuch epyurasi bilan 

ko‘paytirib, olingan natijani tekshiramiz. Birlik kuch epyurasi balandligi 

1 ga teng to‘g‘ri to‘rtburchakdan iborat bo‘lgani uchun ko‘paytirish 

natijasi 

b

М

 epyura yuzasini buralishdagi bikrlikka bo‘lganligiga teng. 

1

М

Δ

=

 

0

2

,

0

160

4

,

0

440

4

,

0

360

=

⋅

−

⋅

+

⋅

−

G

I

ρ

 

Demak, masala to‘g‘ri yechilgan. 

 

Shunday qilib, sterjen bikrligi o‘zgarmas bo‘lganda, statik noaniq 

masalani buralishda to‘g‘ri yechilganligi sharti burovchi momentlar 

yakuniy epyurasi yuzasining nolga tengligi ekan. Statik noaniq 

sistemalarni buralishga hisoblashda fazoviy statik noaniq masalalar eng 

ko‘p uchraydi.