Logarifmlar

Mavzu: O`nli va natural logarifmlar.
Mashg`ulot turi: Amaliy.
Ajratilgan soat: 2 soat.
REJA:
1. O`nli logarifm.
2. Natural logarifm.
3. Logarifm xossalari.
Tayanch iboralar: Son, logarifm, daraja, asos, ildiz, nomallum, ko`paytma
bo`lima.
Kerakli jihozlar: Plakatlar, tarqatma materiallar, test savollari.
O`qituvchining maqsadi: O`quvchilarga sonning logarifmi. Asosiy
logarifmlik ayniyatlar haqida tushuncha berish va ularga doir
misollar yechimini o`rgatishdan iborat.
I-asosiy savol bayoni:
Sonlarning logarifmlari uchun maxsus jadvallar (logarifmlar jadvallari) tuzilgan. Logarifmlar mikrokalkulyator yordamida ham hisoblanadi. Ikkila holda ham faqat o`nli yoki natural logarifmlar topiladi.
Sonning o`nli logarifmi deb shu sonning 10 asosiga ko`ra logarifmiga aytiladi va log₁₀b o`rniga 1g b yoziladi.
Sonning natural logarifmi deb shu sonning e asosiga ko`ra lofarifmiga aytiladi, bu yerda e-qiymati taqminan 2,7 ga teng irrasional son. Bunda log_eb o`rniga ln b yoziladi.
e irrasional son matematikada va uning tatbiqlarida muhim rol o`ynaydi. e soning yig`indi sifatida quydagicha ifodalash mumkin:

e sonini mikrokalkulyatorda hisoblash quydagi programma bo`yicha bajariladi:
1 F e<sup>x</sup> 2,7182818. lgb va lnb ni mikrokalkulyatorda hisoblash mos ravishda quydagi programmalar bo`yicha bajariladi:
b F lg va b F ln.
M asalan: lg 13 ni hisoblasak 13 F lg 1,113943 ni hosil qilamiz. ln 13 ni hisoblab, 13 F ln 2,5649493 ni hosil qilamiz.
Sonlarning istalgan asosiga ko`ra logarifmlarini toppish uchun ularning faqat o`nli yoki faqat natural logarifmlari qiymatlarini bilish yetarli ekan. Buning uchun bir asosga ko`ra logarifmdan boshqa asosga ko`ra logarifmga o`tish formulasidan foydalaniladi: bu yerda b>0, a>0, a≠1, c>0, c≠1.
(1) formulaning o`rinli ekanini isbotlaymiz.
O Asosiy logarifmik ayniyatni yozamiz: . Uning ikkala qismini c asosiga ko`ra logarifmlaymiz: .
Darajaning logarifmi xossasidan foydalanib, quyidagini topamiz:
, bundan (1) formuladan c=10 va c=e da o`nli va natural logarifmlarga o`tish formulalari kelib chiqadi:
.
1 -masala: MK-54 mikrokalkulyatori yordamida log<sub>3</sub>80 ni hisoblang.
∆ 1) O`nli logarifmlar yordamida: 80 F lg 3 F ig ÷ 3,988927.
2 ) Natural logarifmlar yordamida: 80 F ln 3 F in ÷ 3,9886928.
Javob: log₃80≈3,99.
Bir asosga ko`ra logarifmdan boshqa asosga ko`ra logarifmga o`tish formulasidan ba’zi tenglamalarni yechishda foydalaniladi.
2-masala: tenglamani yeching.
∆ O`tish formulasiga ko`ra. . Shuning uchun tenglama ko`rinishiga ega bo`ladi, bundan log<sub>2</sub>x=1, x=2.
3-masala: Jamg`arma bankidagi a so`mga teng ikki foizli omonat esa a(1,03)<sup>n</sup> gat eng bo`ladi. Necha yildan keyin har qaysi omonat ikki marta ortadi?
∆ 1) Birinchi omonat uchun 2a=a(1,02)ⁿ, bundan (1,02)=2, n=log_1,022. Hisoblashlarni MK-54 da amalgam oshiramiz:2 F ln 1,02 F ln ÷ 36,002788
2) Ikkinchi omonat uchun n=log_1,032 va hisoblash pragrammasi quydagicha:
2 F ln 1,03 F ln ÷ 23,449772.
Javob: Birinchi omonat bo`yicha taxminan 36 yildan keyin. Ikkinchi omanat bo`yicha esa taxminan 23,5 yildan keyin.
Tenglamalarni yeching:
1)
2) lg(x-1)+lg(x+1)=0
3) lg(x-1)-lg(2x-11)=lg2.
4)lg(3x-1)-lg(x+5)=lg5.
5)
6)
7)
8) lgx+lgx²=lg9x.
9. lg(6∙5^x-25∙20^x)-lg25=x;
10)lg(2^x+x+4)=x-xlg5.
11) lg(x²-2x)=lg30-1.
12) lg²x-3lgx=4.
13)lg(x-2)+lgx=lg3.
14) lg(x²+2x+2)<1.
15)
16)
Tengsizlikni yeching:
1)lg(3x-4)2) lg(x²-8x+13)>0.
3)lgx-log_0,1(x-1)0,10,5.
Tenglamalarni yeching:
1)
2)
3)
4)
5)
6)lg lg l xg=0.
7)
8)
9)
10) lg (lgx)=0.
11) lgx=3-lg5. J: 200.
12) J: 25.