Logarifm va uning xossalari

log_a(A∙B)=log_aA+log_aB.
Isbot: log_aA = x_x, log_aB =x, bo'lsin. Logarifmning ta'rifiga ko'ra:
. Bulardan:
Yana ta'rifga ko'ra: log_a(A • B) = x₁ + x₂ = log_a A + log_a B.
Buni asosiy logarifmik ayniyat yordamida ham ko'rsatish mumkin:

Ta'rifga ko'ra:
log_a(A·B)=log_aA+log_aB.
II- asosiy savollar bayoni:
Bo'linmaning logarifmi ham shunday topiladi:
log_a(A:B)=log_aA-log_aB.
b)Darajaning logarifmi daraja ko'rsatkichi bilan asos logarifmining ko'paytmasiga teng:
log_a b^m =m· log_a b.
Isbot: log_a b = x desak, b = a^x va b^m = a^mx.
Demak, log_a b^m = m ∙ log_a b.
Buni boshqacha isbotlash ham mumkin:
Uchinchi xil isbotni qarash ham maqsadga muvofiq:
bundan, ta'rifga ko'ra: log_ab^m =m log_ab.
d) Ildizning logarifmi ildiz ostidagi son logarifmining ildiz ko'rsatkichiga bo'linganiga teng:

bo'lganidan bu xossaning isbotiga to'xtalib o'tirmaymiz.
e) Bir asosdan boshqa asosga o'tish formulasi.
Ushbu

formulani isbotlaymiz, bunda b>0, a≠l, c>0, c≠l.
Isbot: buni c asosga ko`ra lofarifmlab ushbularga ega bo`lamiz.
log_ab∙log_ca=log_cb, . Log₂8+log₂4=log₂(8∙4)=log₂32=5.
Haqiqatdan ham, log₂8+log₂4=3+2=5.
1-masala: x⁴=81 tenglamaning musbat ildizini toping.
∆ Arifmetika ildizining ta’rifiga ko`ra quydagiga ega bo`limiz:

2-masala: 3^x=81 tenglamani yeching.
∆ Berilgan tenglamaning bunday yozamiz: 3^x=2⁴, bundan x=4.
1-masalada noma’lum darajaning asosidir, 2-masalada noma’lum daraja ko`rsatkichidir.
2-masalani yechish usuli tenglamaning chap va o`ng qisimlarini ayni bir 3 asosli darajada ko`rinishida ifodalay olishdan iborat. Lekin masalan, 3<sup>x</sup>=80 tenglamani shunday usul bilan yechish mumkin emas. Biroq siz bu tenglama ildiziga ega ekanligini bilasiz. Bunday tenglamalarni yecha olish uchun sonning logarifmi tushunchasi kiritiladi.
2-§ da a<sup>x</sup>=b (bunda a>0, a≠1, b>0) tenglama birgina ildizga ega ekani aytilgan edi. Bu ildiz b soning a asosiga ko`ra logarifmi deb ataladi va log_a b kabi belgilanadi. Masalan, 3^x=81 tenglamaning ildizi 4 sonidir, ya’ni log₃81=4.
Shunday qilib, b musbat sonning a asosiga ko`ra logarifmi deb b sonni hosil qilish uchun a (bunda a>0, a≠1) sonni ko`tarish kerak bo`lgan daraja ko`rsatkichiga aytiladi.
Masalan, log₂8=3, chunki 2³=8; , chunki , log₇7=1, chunki 7¹=7; log₄1=0, chunki 4⁰=1.
Logarifmning ta’rifini qisqacha bunday yozish mumkin: . Bu tenglik b>0, a>0, a≠1 bo`lganda o`rinlidir. U odatda asosiy logarifmik ayniyat deb ataladi. Masalan, ; ; .
Asosiy logarifmik ayniyat yordamida, masalan, x=log₃80 qiymat 3^x=80 tenglamaning ildizi ekanini ko`rsatish mumkin. Haqiqatdan ham, . Sonning logarifmini toppish amali logarifmlash amali deb ataladi.
3-masala: log<sub>64</sub>128 ni hisoblang.
∆ log<sub>64</sub>128=x belgilash kiritamiz. Logarifmning ta’rifiga ko`ra: 64^x=128. 64=2⁶, 128=2⁷ bo`lgani uchun 2<sup>6x</sup>=2<sup>7</sup>, bundan 6x=7, .
Javob: .
4-masala: ni hisoblang.
∆ Darajaning xossasi va asosiy logarifmik ayniyatdan foydalanib, quydagini topamiz: .
5-masala: log<sub>3</sub>(1-x)=2 tenglamani yeching.
∆ Logarifmning ta’rifiga ko`ra 3²=1-x, bundan x=-8
6-masala: x ning qanday qiymatlarida mavjud bo`ladi?
∆ Logarifmning asosi 5>0 va 5≠1 bo`lgani uchun berilgan logarifm bo`lganda va faqat shundagina mavjud bo`ladi.
Bu tengsizlikni yechib, 1