Logarifm va uning xossalari

II-asosiy savol bayoni
Miso1: y = log₂ x va y = x funksiyalarning grafiklarini qaraymiz. y = log₂ x bo'lsin (14-chizma).

x				1	2	4	8	…
y	-3	-2	-1	0	1	2	3	…

bo'lsin (15-chizma):

x	8	4	2	1				…
y	-3	-2	-1	0	1	2	3	…

Ushbu log_a x₁ = log_a x₂ tenglikdan x₁ =x₂ tenglik kelib chiqishini osongina ko'rish mumkin, bunda a > 0; a ≠ 1; x, > 0; x₂ > 0.
Miso1lar: 8.155. 1) log₃(5x-l) = 2.
Yechish. log₃(5x-l)=log₃3² yoki logarifmning ta'rifiga ko'ra 5x-1=3². Shunday qilib, 5x -1 = 9 → x = 2.
Aniqlanish sohasi: 5x-l>0; Shuning uchun javob: 2.
8.156. 1) log₅x>log₅3-asos 1 dan katta bo`lgani uchun x>3.
2) asos 1 dan kichik bo`lgani uchun .
Aniqlanish sohasi ikkala misolda ham x>0 ya’ni (0, ∞), u holda javoblar:
1) (3; ∞) va 2) .
Matematikada va uning tatbiqlarida ko`pincha y=log<sub>a</sub>x lofarifmik funksiya uchraydi, bu yerda a-berilgan son, a>0, a≠1.
Logarifmik funksiya quyidagi xossalarga ega:
1) Logarifmik funksiyaning aniqlanish sohasi barcha musbat sonlar to`plami.
Bu logarifmning ta’rifidan kelib chiqadi, chunki log_ax ifoda faqat x>0 da ma’noga ega.
2) Logarifmik funksiyaning qiymatlari to`plami barcha haqiqiy sonlar to`plami R.
Bu istalgan haqiqiy b son uchun shunday musbat x son mavjud bo`lib, uning uchun log<sub>a</sub>x=b bo`lishidan ya’ni log_ax=b tenglama ildiziga ega ekanidan kelib chiqadi. Bunday ildiz mavjud va u x=a_b ga teng, chunki log_aa^b=b.
3) y=log_ax logarifmik funksiya x>0 oraliqda agar a>1 bo`lsa, o`suvchi, agar 0O a>1 bo`lsin. Agar x<sub>2</sub>>x<sub>1</sub>>0 bo`lsa, u holda y(x₂)>y(x₁), ya’mni log_ax₂>log_ax₁ bo`lishini isbotlaymiz. Asosiy logarifmik ayniyatdan foydalanib x<sub>2</sub>>x<sub>1</sub> shartni bunday yozish mumkin: . Bu tengsizlikdan a>1 asosli darajaning xossasiga ko`ra log_ax₂>log_ax₁ ekani kelib chiqadi.
02>x₁>0 bo`lsa u holda log<sub>a</sub>x<sub>2</sub>ax<sub>1</sub> bo`lishini isbotlaymiz.
x₂>x₁ shartni ko`rinishda yozib, log<sub>a</sub>x<sub>2</sub>ax<sub>1</sub> ni hosil qilamiz,
chunki 04) agar a>1 bo`lsa, u holda y=log_ax funksiya x>1 da musbat qiymatlari, 0ax funksiya 01 da manfiy qiymatlar qabul qiladi.
Bu y=log_ax funksiya x=1 da nolga teng qiymat qabul qilishi va x>0 oraliqda, agar a>1 bo`lsa kamayuvchiligidan kelib chiqadi.
y=log<sub>a</sub>x logarifmik funksiyaning ko`rib chiqilgan xossalaridan uning grafigi 0y o`qidan o`nga joylashganligi va a>1 da 7-rasmdagi ko`rinishga, 0

9-rasmda y=log₂x funksiyaning grafigi, 10-rasmda esa funksiyaning grafigi tasvirlangan.

Istalgan y=log_ax logarifmik funksiyaning grafigi (1;0) nuqtadan o`tishini ta’kidlab o`tamiz.
Tenglamalarni yechishda ko`pincha quydagi teoremadan foydalaniladi:
Teorema: Agar log<sub>a</sub>x<sub>1</sub>=log<sub>a</sub>x<sub>2</sub> bo`lsa, u holda x₁=x₂ bo`ladi, bunda a>0, a≠1, x<sub>1</sub>>0, x<sub>2</sub>>0.
O x<sub>1</sub>≠x<sub>2</sub> deb faraz qilaylik, masalan x<sub>2</sub>>x<sub>1</sub> bo`lsin. Agar a>1 bo`lsa, u holda x<sub>2</sub>>x<sub>1</sub> tengsizlikdan log<sub>a</sub>x<sub>2</sub>>log<sub>a</sub>x<sub>1</sub> bo`lishi, agar 02>x₁ tengsizlikdan log_ax₂ax₁ bo`lishi kelib chiqadi. Ikkala holda ham log_ax₁=log_ax₂ shartga zid hol yuz beradi. Demak x₁=x₂.


III-asosiy savol bayoni
1-masala: log₅(3x-2)=log₅7 tenglamani yeching.
∆ Isbotlangan teoremadan foydalanib 3x-2=7 ni hosil qilamiz, bundan 3x=9, x=3.
2-masala: log₂<3 tengsizlikni yeching.
∆ 3=log₂2³=log₂8 ekanidan foydalanib, berilgan tengsizlikni bunday yozamiz: log₂x28, y=log₂x funksiya x>0 da aniqlangan va o`suvchi ekanidan log₂x28 tengsizlik x>0 va x<8 da bajariladi.
Javob: 03-masala: tengsizlikni yeching.
∆ Berilgan tengsizlikni bunday yozamiz: funksiya x≥0 da aniqlangan va kamayuvchi shuning uchun tengsizlik x>0 va x≥9 da bajariladi.
Javob: x≥9.


Nazorat savollari:
1. Logarifmik funksiyaning aniqlanish sohasi deganda nimani tushunasiz?
2. Logarifmik funksiyaning o`zgarish sohasi deganda nimani tushunasiz?
3. Logarifmik funksiya grafigi qachon o`sadi?


Foydalanilgan adabiyotlar:
1. R. H. Vafayev, J.H. Husanov, K.H. Fayziyev, Yu. Y. Hamroyev. „Algebra
va analiz asoslari“ . T. „O`qituvchi“ 2003 yil.
2. Sh. O. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu.V. Sidorov, N. E. Fyodorova,
M. I. Shabunin „Algebra va analiz asoslari“ T. „O`qituvchi“ 2001 yil.