Лекция векторы и их линейные комбинации. Скальярные и векторные произведения векторов. План лекции: Векторы на плоскости и их линейные комбинации

2. Векторы в трёхмерном пространстве и их линейные комбинации.
Векторы в трёхмерном пространстве определяются с тремя координатами и записываются следующим образом: ввиду столбец или ввиду строка или или и т.д.


















z





X
Рис.7
Из рисунки 7 видно, что любой вектор в трёхмерном пространстве можно написать в виде . Здесь векторы называются единичными направляющими векторами.
Линейные операции над трёхмерными векторами определяется также, как двухмерными. Пусть даны трёхмерные векторы и :
1.Сумма векторов;

2. Произведение вектора на число;


3. Линейные комбинации векторов;

Пример. Найти линейную комбинации векторов:

Решение.

Приведённые линейные операции над двухмерными и трёхмерными векторами обладают следующими свойствами:
1)
2)
3)
4)
5)
6) ,
7)
8) ,
Для векторов и взятых из трёхмерном пространстве имеет место следующие свойства (геометрические):
1. Все линейные комбинации векторов ( ) составляет прямую проходящую через точку .
2. Все линейные комбинации двух неколлинеарных, ненулевых векторов образуют плоскость, в , проходящей через точку .
3. Все линейные комбинации трёх некомпланарных, ненулевых векторов полностью покрывают пространству .

Рис.8
Пример. Даны в векторы . Напишите множество векторов на плоскости построенной на этых векторах. Покажите точку из нележащую на этой плоскости.
Решение. Из выще изложенных вытекает, что, плоскость, построенной на векторах содержить в себе всех линейных комбинаций этых векторов(Рис.8). Следовательно, множество векторов на плоскости построенной на этых векторах имеет вид:
где
Т.е. все векторы, из , вторая координата каторых является суммой первой и третий лежат на плоскости построенной на векторах . Например, векторы лежать на этой плоскости, но вектор нележить на этой плоскости