Лекция векторы и их линейные комбинации. Скальярные и векторные произведения векторов. План лекции: Векторы на плоскости и их линейные комбинации

Замечание. Чтобы найти сумму двух векторов, заданных своими координатами, надо сложить их соответствующие координаты.
Пример. Даны векторы и . Найти .
Решение. .
Определение. Умножением вектора на число , называется вектор  определяемий по формуле
(2)
Пример. Дан вектор  . Найти координаты вектора .
Решение. .

Рассмотрим далее случай, когда начало вектора не совпадает с началом системы координат. Предположим, что в ПДСК заданы две точки  и . Тогда координаты вектора находятся по формулам (рис. 4):

Определение. Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами начала и конца, надо от координат конца отнять соответствующие координаты начала.

Пример. Найти координаты вектора , если .
Решение. .
Пример. Если точка является начальной точкой вектора , то найти конечную точку .
Решение. Если обозначим конечную точку через , тогда по определению . Следовательно .
Пример. Если точка является конечной точкой вектора то найти начальную точку .
Решение. Если обозначим начальную точку через , тогда по определению . Следовательно .
Из введённых определений вытекает, что с помощью умножением вектора на -1 получим противоположный вектор к вектору , т.е.

Сложение и вычитание векторов геометрически можно представлять в виде:
Рис.5
Определение. Линейной комбинацией двух векторов и называется выражение
(3)
В частности из формулы (3) :

1. 
   если ,то получим сумму векторов (Рис.5.а);
   
2. 
   если ,то получим разность векторов (Рис.5.б);
   
3. 
   если ,то получим нуль вектор .
   
4. 
   если , то получим вектор коллинеарный к вектору .
   

a) Рис. 6 (b)