Лекция-18. Дәрежели қатарлар. Жыйнақлылық радиусы ҳәм жыйнақлылық областы. Тейлор ҳәм Маклорен қатары

Теорема 30. Жыйнақлылық радиусы R болған дәрежели қатар ҳәр қандай [-r ; r] жабық аралықта тең өлшеўли жыйнақлы болады, бунда 0Дәлиллеў. х=r болғанда дәрежели қатар абсолют жыйнақлы, яғный қатар жыйнақлы. Егер |x| r болса |c_n||xⁿ||c_n|rⁿ ҳәм 24-теорема бойынша дәрежели қатар [-r ; r] де тең өлшеўли жыйнақлы.
Теорема 31. Дәрежели қатардың қосындысы жыйнақлылық интервалында үзликсиз функция болып табылады.
Дәлиллеў. Қәлеген х(-R~R) ты аламыз. r cанын |x|Теорема 32. Жыйнақлылық интервалында дәрежели қатарды ағзама-ағза интеграллаў мүмкин.
Дәлиллеў. (-R~R) жыйнақлылық интервалынан қәлеген [a~b] аралықты алыўымыз мүмкин. 30-теорема бойынша қатар [a~b] да тең өлшеўли жыйнақлы. Ал онда 26-теорема бойынша қатарды [a~b] да ағзама-ағза интеграллаў мүмкин.
Теорема 33. Жыйнақлылық интервалының қәлеген точкасында дәрежели қатарды ағзама-ағза дифференциаллаў мүмкин.
Дәлиллеў.
с₁+2c₂x+3c₃x²+...+(n+1)c_n+1xⁿ+... (65)
қатардың (-R~R) жыйнақлылық аралығының қәлеген точкасында жыйнақлы екенлигин дәлиллеймиз, яғный


(66)
(67)
х₀(-R~R) қәлеген точка аламыз. (66) дәлиллеў ушын 27-теоремадан пайдаланыўымыз керек. 27-теореманың тек ғана 3 шәртиниң орынланыўын тексерип көремиз. Дәслепки еки шәртиниң орынлы екенлиги анық. r₁ ҳәм r₂ санларын төмендегише сайлап алайық. |x₀|122 мәнис берилген дәрежели қатардың жыйнақлылық аралығына тийисли онда қатар х=r₂ де абсолют жыйнақлы, яғный қатар жыйнақлы. Онда бул қатардың улыўма ағзасы n да 0 ге умтылады.
Сонлықтан шегараланған
|c_n| r₂ⁿ(63) қатардың улыўма ағзасын түрлендирип ҳәм баҳалайық |x|r₁ де (67) ны пайдалансақ
(68) деп алсақ (67) бойынша 0(n+1)|c_n+1 |xⁿ|n (69)
жыйнақлы (69) бойынша (65) қатар 24- теорема бойынша [-r;r] де тең өлшеўли жыйнақлы. Солай етип 27-теореманың барлық шәртлери орынлы ҳәм х=х₀ да (65) дәлилленди.