Лекция-18. Дәрежели қатарлар. Жыйнақлылық радиусы ҳәм жыйнақлылық областы. Тейлор ҳәм Маклорен қатары

Лекция-18. Дәрежели қатарлар. Жыйнақлылық радиусы ҳәм жыйнақлылық областы. Тейлор ҳәм Маклорен қатары


1. Дәрежели қатарлар.
Ғәрезсиз х ямаса (х-а) өзгериўшиниң пүтин дәрежелеринен ибарат
(62)
ямаса
(63)
көринистеги қатарлар дәрежели қатар деп аталады. (62) көринистеги барлық дәрежели қатарлар х=0 де жыйнақлы.
Теорема 28 (Абель) дәрежели қатар берилсин.
1) Егер ол х=х₀0 базы бир мәнисте жыйнақлы болса, онда ол |x| |x₀| болатуғын х тың барлық мәнислеринде абсолют жыйнақлы.
2) Егер ол х=х₁ базы бир мәнисте тарқалыўшы болса, онда ол |x||x₁| болатуғын х тың барлық мәнислеринде таралыўшы.
Дәлиллеў. 1) санлы қатар жыйнақлы ҳәм 1-теорема бойынша бул қатардың улыўма ағзасы c_nx₀ⁿ0 егер n онда c_nx₀ⁿ шегараланған яғный сондай М саны бар болып
(64)
|x||x₀| болатуғын етип х ты сайлап аламыз. Онда , 0q1 деп белгилеймиз (64) дан пайдаланып дәрежели қатарды төмендегише баҳалаймыз.

қатары кемиўши геометрик прогрессиядай болып жыйнақлы болады. Онда 8-теорема бойынша қатары ҳәм жыйнақлы. Демек дәрежели қатар х тың берилген мәнисинде абсолют жыйнақлы.
2) х=х₁ ушын қатар таралыўшы керисинен аламыз |x||x₁| болатуғын х тың барлық мәнисинде дәрежели қатар жыйнақлы. Онда теореманың дәлилленген 1-бөлеги бойынша дәрежели қатар х=х₁ мәнисте жыйнақлы болыў керек ал бул берилген шәртке қарама қарсы.
Теорема 29. ҳәр қандай дәрежели қатар ушын х=0 деп өзгеше жыйнақлылық точкалары бар, ҳәм таралыўшылық точкалары бар яғный сондай R саны бар болып.
1) |x|R ушын қатар абсолют жыйнақлы
2) |x|R ушын қатар таралыўшы
Дәлиллеў. арқалы дәрежели қатар жыйнақлы болатуғын барлық х тың мәнислерин белгилеймиз. көплик шегараланған ҳақыйқатында да х₁ точкасын алайық, ол точкадан қатар таралыўшы. Абель теоремасы бойынша қәлеген ушын шегараланған көпликте дәл жоқарғы шегара бар болады. R=sup , R.
1) |x|R болатуғын қәлеген х ты аламыз. R, көпликтиң дәл жоқарғы шегарасы онда |x|| |R болатуғын табылады ҳәм х ушын қатар абсолют жыйнақлы болады.
2) |x|R болатуғын қәлеген х ты алайық. Бундай х лар көплигине кирмейди демек қатар таралыўшы.
Анықлама. 29-теоремада келтирилген R0 саны дәрежели қатардың жыйнақлылық радиусы деп аталады. (-R,R) аралық дәрежели қатардың жыйнақлылық аралығы деп аталады.
Мысал.23. дәрежели қатардың жыйнақлылық радиусын табың.
Шекти табамыз. 1-теорема бойынша қатар абсолют жыйнақлы егер |x|<1 ҳәм таралыўшы егер |x|>1 демек R=1 ҳәм жыйнақлық аралығы (-1~1). х=1 точкада қатарды жыйнақлылыққа изертлейик. x=-1 де бул белгисин өзгертиўши қатар ол 15 теорема бойынша жыйнақлы. х=1 де бул тарқалыўшы гармоникалық қатар. Солай етип қатар аралықтың шеп жағында абсолют емес жыйнақлы.
Мысал 24. , дәрежели қатардың жыйнақлылық радиусын табың.
шектиң шамасы барлық х лар ушын 1 ден киши болғанлықтан берилген дәрежели қатар барлық сан көшеринде жыйнақлы R=+.
Мысал 25. жыйнақлылық радиусын табың. R=1 қатарды (-1~1) де изертлейик х=-1 де бул қатарды жыйнақлы қатар менен салыстырамыз. 9-теорема бойынша х=-1 де дәрежели қатар жыйнақлы. х=1 де Бул белгисин өзгертиўши қатар 15-теорема бойынша жыйнақлы. Берилген қатар [-1~1] де абсолют жыйнақлы.