Лекция-18. Дәрежели қатарлар. Жыйнақлылық радиусы ҳәм жыйнақлылық областы. Тейлор ҳәм Маклорен қатары

Теорема 34. Базы бир дәрежели қатарды ағзама-ағза интеграллаў ямаса ағзама-ағза дифференциаллаў жолы менен алынған қатардың жыйнақлылық радиусы менен үстпе-үст түседи.
Дәлиллеў. (63) ҳәм (65) қатарлардың жыйнақлылық радиусларын сәйкес R₁ ҳәм R₂ арқалы белгилеймиз. (64) ҳәм (66) қатнаслардан (63) ҳәм (65) қатарлар (-R~R) диң қәлеген точкасында жыйнақлы
R₁R ҳәм R₂R (70)
Сонлықтан дәрежели қатарды ағзама-ағза интеграллаў ҳәм ағзама-ағза дифференциаллаў оның жыйнақлылық радиусын өзгертпейди.



Бирақ қатардың өзин қатарды ағзама-ағза дифференциаллаў нәтийжеси деп қараў мүмкин, онда RR₁ ямаса қатарды ағзама-ағза интеграллаў нәтийжеси деп қараў мүмкин онда
RR₂ (71)
(70) ҳәм (71) лерди салыстыра отырып R₁ =R₂ =R ге ийе боламыз.
Теорема дәлилленди.
Мысал 27. 1+2x+3x²+...+(n+1)xⁿ+... қатардың қосындысын табың.
Биринши ағзасы 1 бөлими х ға тең болған ағзалар геометрик прогрессияны беретуғын қатарды қарап өтемиз. 1+x+x²+...+xⁿ= Геометрик прогрессия |x|<1 де жыйнақлы сонлықтан бул қатардың жыйнақлылық радиусы 1 ге тең. Бул қатарды ағзама-ағза дифференциаллаймыз
1+2x+3x²+...+(n+1)xⁿ +...=- (-1)= Солай етип қатардың қосындысы табылды. Оның жыйнақлылық радиусы 1 ге тең.
Мысал 28.
(72)
қатардың қосындысын табың.
Бул қатар қатарды ағзама-ағза интеграллаў нәтийжесинде алынған. Бул қатардың ағзалары бөлими биринши ағзасы qге тең болған геометрик прогрессия. Сонлықтан қатар | |<1 болғанда |x|<2 абсолют жыйнақлы. Оның қосындысы . Онда дәрежели қатар ушын R=2. [0,x]та ағзама-ағза интеграллап |x|<2 31-теорема бойынша
ге ийе боламыз. Солай етип (72) тиң жыйнақлылық радиусы 2 ге тең ал қосындысы ге тең.