Лекция 12 Линейные операторы

Теорема 6. Всякий линейный оператор с простым спектром может быть задан диагональной матрицей.
Доказательство. Пусть - линейное пространство, , - линейный оператор в , имеет простой спектр. Тогда характеристических корней . Пусть это числа , в силу теоремы 4 - собственные значения оператора .
Пусть - соответствующие этим собственным значениям собственные векторы, тогда согласно теореме 5 линейно независимы, и так как , - базис. В этом базисе, как было отмечено выше, матрица оператора имеет вид

и является диагональной матрицей.
Теорема доказана.
Пример 6. Линейный оператор задан своей матрицей в некотором базисе. Выяснить, существует ли для данного оператора базис, в котором его матрица имеет диагональный вид. В случае положительного ответа найти этот базис и соответствующую ему матрицу .
Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение:
,
,
откуда , - характеристические корни оператора . Они вещественны и различны, следовательно, согласно теореме 6 для оператора существует базис, состоящий из собственных векторов, и в этом базисе матрица оператора имеет вид
.
Находим собственные векторы.
При имеем
,
или . Все ненулевые векторы вида являются собственными с собственным значением .
При имеем
,
или . Все ненулевые векторы вида - собственные с собственным значением .
Полагаем , имеем , .
В базисе матрица оператора имеет вид .