Лекция 12 Линейные операторы

Пример 3. Для линейного оператора зеркального отражения относительно оси найти, как преобразуются координаты произвольного вектора.
Решение. Матрица оператора была найдена в примере 2:
.
В силу теоремы 1, если - прообраз, а - образ, , то , т.е. первая координата образа остается без изменения, а вторая меняет лишь знак (рис. 12.4).
Пример 4. - линейное пространство всех многочленов степени , - линейный оператор дифференцирования. Найти его матрицу в базисе и, используя теорему 1, продифференцировать многочлен .
Решение. Находим образы векторов базиса и разлагаем полученные векторы по базису :
,
,
.
Матрица оператора в базисе имеет вид
,
а вектор . Обозначим . По теореме 1 имеем
,
или в виде разложения по базису : .
Упражнение. - линейное пространство всех геометрических векторов плоскости, - декартов базис, - декартова система координат, - оператор поворота плоскости вокруг начала координат на угол против часовой стрелки. Доказать, что - линейный оператор, найти матрицу оператора в базисе и координаты образа вектора .
12.2. Собственные векторы и собственные значения
линейного оператора
Определение 4. Квадратные матрицы и называются подобными, если существует невырожденная матрица , такая, что
.
Теорема 2. Пусть - линейное пространство, (I) и (II) - два базиса в , - матрица перехода от (I) к (II), - линейный оператор в , - матрица оператора в (I), - матрица оператора в (II). Тогда
.
Это утверждение примем без доказательства.
Пусть . Матрица , где - единичная матрица порядка , а - произвольное вещественное число, называется характеристической матрицей для . Она имеет вид
.
Определитель - некоторый многочлен порядка относительно .
Определение 5. Многочлен называется характеристическим многочленом матрицы , а его корни - характеристическими корнями матрицы .