Лекция 12 Линейные операторы

Теорема 3. Подобные матрицы имеют одинаковый набор характеристических корней.
Доказательство. Пусть , - невырожденная матрица. Имеем

.
Характеристические многочлены матриц В и С совпадают, следовательно, совпадают и характеристические корни.
Теорема доказана.
Следствие. Матрицы, задающие линейный оператор в различных базисах, имеют один набор характеристических корней (теорема 2 + теорема 3).
Определение 6. Характеристические корни матрицы линейного оператора (в любом базисе) называются характеристическими корнями линейного оператора.
Определение 7. Весь набор характеристических корней называется спектром оператора.
Определение 8. Пусть - линейное пространство, - линейный оператор в . Вектор называется собственным вектором оператора , если найдется действительное число такое, что
.
Число называется собственным значением, соответствующим данному собственному вектору .
Справедливо следующее утверждение, которое приведем без доказательства.
Теорема 4. Действительные характеристические корни линейного оператора, если они существуют, и только они, служат собственными значениями линейного оператора.
Пример 5. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора зеркального отражения относительно оси .
Решение. Матрица оператора была найдена в примере 2: .
Составим характеристическое уравнение:
,
откуда и , .
Числа , - характеристические корни линейного оператора (в соответствии с определением 6), они действительны и, согласно теореме 4, являются собственными значениями. Найдем соответствующие им собственные векторы.
По определению собственного вектора , но , следовательно, ищем векторы, удовлетворяющие уравнению , или , или
. (12.3)
При имеем . Подставим ее в (12.3):
,
что равносильно системе уравнений
(12.4)
откуда , и решением системы (12.4) являются все векторы вида
,
- произвольное вещественное число, отличное от нуля.
При получаем , подставляем в (12.3):
,
получаем систему уравнений

откуда , - произвольное вещественное число, отличное от нуля.
Г еометрически это означает, что любой ненулевой вектор, приложенный к началу координат с концом на оси , является собственным, отвечающим собственному значению (действие на него оператора сводится к умножению его на , а любой ненулевой вектор с концом на оси является собственным, отвечающим собственному значению (т.е. действие оператора на этот вектор заключается в умножении его на (рис. 12.5)).