Лекция 12 Линейные операторы

Лекция 12
Линейные операторы

Линейный оператор - определение и примеры. Матрица линейного оператора. Собственные числа и собственные векторы. Линейные операторы с простым спектром

12.1. Понятие линейного оператора
Определение 1. Пусть - линейное пространство и каждому вектору , принадлежащему , поставлен в соответствие вектор , . Соответствие называется оператором, определенным в линейном пространстве .
Принята также запись: . Вектор называется прообразом, а - образом при отображении оператором .
Определение 2. Оператор , определенный в линейном пространстве , называется линейным, если:
1) ;
2) - вещественного числа .
П ример 1. - линейное пространство всех геометрических векторов плоскости, - зеркальное отражение относительно оси (рис. 12.1). - линейный оператор.
Убедимся, что выполняется требование 2) в определении 2.
Пусть - произвольное вещественное число, по определению умножения на для геометрического вектора вектор имеет то же направление, что и , если , и противоположное, если , и .
Рис. 12.2 соответствует случаю , ( рассматривается аналогично).
П усть , , - зеркальное отражение вектора относительно оси , - зеркальное отражение вектора . Тогда ~ и, значит, . Но , поэтому . Кроме того, направление вектора совпадает с направлением вектора , следовательно, . Таким образом, имеем
.
Так же, исходя из геометрических соображений, можно доказать, что , следовательно, оператор зеркального отражения относительно оси является линейным оператором.
Упражнения.
1. - линейное пространство всех многочленов степени , - оператор дифференцирования, . Доказать, что - линейный оператор.
2. - линейное пространство всех непрерывных на отрезке функций. Для любой оператор определен следующим равенством:
, .
Доказать, что - линейный оператор.
Определение 3. Пусть - линейное пространство, - базис в , - линейный оператор в . Матрицей линейного оператора в базисе называется матрица , , такая, что
,
,
…………………………………….. (12.1)
.