Лекции по дисциплине "Программирование 3" для бакалавров 2-курса направлений 5350200-Телевизионные технологии

4.
 
Особенности реализации математических функций
 
Используя в алгоритмах математические функции, важно иметь 
представление o том, как они реализуются на компьютере. Дело в том, что 
ввиду особенностей, лежащих в основе задания математических функций, 
возвращаемые ими значения далеко не всегда являются истинными. Если 
этого не учитывать, то в алгоритме может случиться сбой, найти который 
будет очень и очень сложно. Основные арифметические операции над 
числами с плавающей точкой, такие как сложение, умножение или деление, 
поддерживаются компьютером на аппаратном уровне, т. е. их проделывает 
процессор напрямую. Поэтому скорость выполнения подобных операций 
может быть крайне высокой. Такие же операции, как вычисление синуса или 
логарифма, аппаратно не поддерживаются. Причина этого не в том, что 
реализовать необходимый для этого алгоритм «в железе» невозможно. Нет, 
это вполне осуществимая задача (более того, основная аксиома 

---

130 
микроэлектроники говорит, что аппаратно можно реализовать любой 
алгоритм). Просто вводить в процессор соответствующий элемент не имеет 
смысла, так как создать математические функции очень просто программно, 
используя только лишь аппаратно поддерживаемые арифметические 
операции. В основе реализации таких невыразимых в общем случае через 
арифметические операции математических функций, как синус, косинус или 
логарифм, лежит одна чрезвычайно важная идея, доказываемая в любом 
курсе математического анализа. Ее суть сводится к тому, что функция, при 
соблюдении некоторых ограничений, может быть заменена в окрестности 
данной точки на степенной ряд. Степенной ряд. представляет собой сумму
вида,
Нахождение для функции приближающего ее ряда называется 
разложением в степенной ряд. Чем больше будет найдено членов 
разложения, тем точнее будет приближена функция. Также точность 
приближения зависит оттого, насколько далеко располагается данная точка 
от той, для которой разложение было проведено, Например, для синуса 
степенной ряд в точке разложения а=0 имеет вид (12 членов разложения, 6 из 
них равны 0):
На основании ряда, в который разлагается функция, написать алгоритм 
для определения ее значений не составляет никакого труда. Единственное, 
нужно правильно оценить, сколько следует взять членов разложения, чтобы 
точность приближения была достаточной. Для этого существуют 
специальные формулы.
Математические функции вычисляются при помощи приближенного 
ряда. Точность таких вычислений равна в идеале точности представления 
чисел. Это означает, что в 14—15-м знаке мантиссы ошибка будет почти 
наверняка. Конечно, это не важно в подавляющем большинстве случаев. Но 
иногда и эта ошибка может стать фатальной. Прежде всего, это касается 
точек разрывов и нулей функций. Например, для любого школьника, 
очевидно, что sin(n*
π 
) при целых n равняется 0. В ActionScript же равенство 
sin(n*
π 
) = 0 почти наверняка не будет соблюдаться (см. пример выше). То же 
самое можно сказать о значении любой функции практически в любой точке: 
точным до 15-го знака мантиссы оно не будет. Например: