Лекции: Кориков Анатолий Михайлович Пр занятия: Ефремов Александрович Томск, 2015

Нормальное распределение (Распределение Гаусса).

• Выясним смысл параметров нормального распределения. Для этого определим математическое ожидание и дисперсию СВ, распределенной нормально с параметрами μ и σ.
• Вычислим математическое ожидание:
• Произведем замену переменных:

• 5. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

• Нормальное распределение (Распределение Гаусса).

• Тогда
• Первый интеграл равен 0, поскольку подынтегральная функция является нечетной, а пределы интегрирования симметричны относительно начала координат.
• Второй интеграл называется интегралом Пуассона-Эйлера; известно, что он равен

• 5. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

• Нормальное распределение (Распределение Гаусса).

• С учетом этого
• Следовательно, параметр μ в функции плотности нормального распределения равен математическому ожиданию СВ.

• 5. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

• Нормальное распределение (Распределение Гаусса).

• Вычислим теперь дисперсию:
• Произведя аналогичную замену переменных и взяв полученный интеграл по частям, в результате получим:

• 5. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

• Нормальное распределение (Распределение Гаусса).

• Следовательно, параметр σ нормального распределения есть ни что иное, как среднее квадратичное отклонение (квадратный корень из дисперсии).
• Поскольку дисперсия есть мера рассеяния (разброса) СВ относительно мат. ожидания, параметр σ определяет, насколько сконцентрированы будут значения СВ около значения μ.

• 5. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

• Нормальное распределение (Распределение Гаусса).

• Поскольку кривая плотности нормального распределения симметрична относительно мат. ожидания, коэффициент асимметрии нормального распределения равен 0:
• Мы уже упоминали, что эксцесс (островершинность) распределений сравнивается с нормальным распределением, поэтому коэффициент эксцесса для нормального распределения равен 0:

• 5. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

•