Laplas operatori Laplace operator

1.6-misol: bo’lsa qo’shma garmonik funksiya’ni toping.
Yechish: (1.5) Koshi-Riman sistemasiga ko’ra = ga teng. Bundan = ga ega bo’lamiz . Izlanayotgan funksiya garmonik funksiya bo’lgani uchun Laplas tenglamasini qanoatlantiradi, ya’ni larni etiborga olib quyidagilarni = + = olamiz. Bundan ni topamiz .Shunday qilib qo’shma garmonik funksiya = ko’rinishsda bo’ladi .
1.7-misol. Agar analitik funksiya’ning haqiqiy qismi berilgan bo’lsa, u holda bir bog’lamli D sohada egri chiziqli integrallash yordamida analitik funksiya’ni toping.
Yechish. Ma’lumki bo’lib va funksiyalar

Koshi-Riman sistemasini qanoatlantiradi. Demak, (1.7) formulaga ko’ra quydagiga ega bo’lamiz:

Shunday qilib, analitik funksiya quydagi

ko’rinishida tuziladi.
1.8-misol. funksiya va shart orqali

analitik funksiya’ni toping.
Yechish. funksiya garmonik funksiya ekanligini tekshirish maqsadida va hosilalarini topamiz va barcha lar uchun Laplas tenglamasi qanoatlantirilishiga ishonch hosil qilamiz, ya’ni

tenglik bajariladi. Demak funk siya garmonik funksiyadir. Bundan va (1.7) formuladan hamda nuqtani tanlab, quyidagiga

ega bo’lamiz.
Shunday qilib, analitik funksiya quyidagi

ko’rinishda tuziladi. Demak, izlanayotgan funksiya

ko'rinishda bo’ladi.