Laplas operatori Laplace operator


§1.3. Laplas tenglamasining qutb, silindrik va sferik koordinatalardagi ifodasi



Download 232,68 Kb.
bet2/4
Sana05.07.2022
Hajmi232,68 Kb.
#741140
1   2   3   4
Bog'liq
Laplas operatori 22222222

§1.3. Laplas tenglamasining qutb, silindrik va sferik koordinatalardagi ifodasi
Bizga ma’lumki,

deb belgilaymiz va Laplas operatori deyiladi.
(1.13)
Laplas tenglamasi deyiladi.
Laplas tenglamasi silindrik va sferik koordinatalarda mos ravishda quyidagi ko’rinishda bo’ladi
(1.14)
(1.15)

silindrik koordinatalar sistemasida (1.14) ning yechimi Bessel funksiyalarini, (1.15) tenglamani sferik koordinatlar sistemasidagi yechimi sferik funksiyadan iborat bo’ladi.


Ma’lumki, Dekart koordinatalar sistemasida

ko’rinishda bo’ladi.
Silindrik koordinatalarda

sferik koordinatalarda esa

ko’rinishda bo’ladi.
Dekart koordinatalar sistemasi а=ахi + ауj + аzk da vector maydon divergensiyasi
ko’rinishda bo’ladi.
Silindrik va sferik koordinatalarda а vector maydon divergensiyasi mos ravishda quyidagi


ko’rinishda bo’ladi.
Laplas tenglamasining qutb koordinatalar sistemasida ko’rinishi ifodalash uchun matematik analiz kursidan ma’lum bo’lgan Dekart koordinatalar sistemasidan egri chiziqli qutb koordinatalar sistemasiga o’tish formulalari
(1.16)
ko’rinishga o’tish zarur. Bunda - koordinata boshidan berilgan nuqtagacha masofa bo’lib, uni odatda nuqtaning radius vektori deyiladi, - esa OX o’qining musbat yo’nalishi bilan nuqtaning radius vektori orasidagi (soat strelkasi harakatiga teskari yo’nalishda aniqlangan) burchak bo’lib, uni odatda berilgan nuqtaning bosh argumenti deyiladi.

deb belgilaymiz.
Aytilganlarga asosan bo’lganda (1.16) o’zaro bir qiymatli akslantirish bo’lib, unga mos teskari almashtirishlar quyidagicha aniqlanadi [4]:
. (1.17)
koordinatalar sistemasida Laplas tenglamasining ko’rinishini topish uchun dastlab birinchi tartibli va xususiy hosilalarni hisoblaymiz:
,
.
Bu xususiy hosilalar yordamida Laplas tenglamasi uchun kerakli bo’lgan ikkinchi tartibli va xususiy hosilalarni hisoblaymiz:


.

.
Topilgan bu ifodalarni , ya’ni Laplas tenglamsiga qo’yib, uning qutb koordinatalardagi ko’rinishini olamiz:

.
Ushbu tenglamani soddalashtirsak u quyidagi tenglamaga teng kuchli bo’ladi:
.
Agar differensiallah uchun

tenglikning o’rinli ekanligini hisobga olsak yuqoridagi tenglamani
(1.18)
ko’rinshda yozish mumkin bo’ladi. Odatda (1.18) tenglama Laplas tenglamasining qutb koordinatalar sistemasidagi tasviri hisoblanadi.
Koshi-Riman shartining qutb koordinatalar orqali ifodasini ko’rsatamiz. Buning uchun , , , , , deb olib, funksiyaning moduli va argumenti orqali ifodalaymiz. U holda,
a) funksiya , ga nisbatan differensiallanuvchi bo’ladi.
b) , funksiyalar Koshi-Riman
,
sistemani qanoatlantiradi. Buni isbotlash uchun hosilalarni hisoblaymiz, bunda (1.5) sistemadan foydalanib:

= , .
yuqoridagi sistemani bajarilishi isbot bo’ldi.

Download 232,68 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish