Лабораторная работа №1 Измерение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1


Измерение ускорения свободного падения с помощью
математического маятника
Цель работы: Экспериментальная проверка закономерностей движения математического маятника, определение ускорения свободного падения.
Приборы: Установка с математическим маятником, секундомер, измерительная линейка.

Постановка задачи
Ускорением свободного падения называют ускорение тела, обусловленное действием только силы тяжести . Оно показывает ускорение, приобретаемое телом единичной массы, под действием силы тяжести:
. (1)
Сила тяжести приложена к данному телу и равна геометрической сумме силы тяготения , действующей между телом и Землей, и центробежной силы инерции . Центробежная сила инерции обусловлена неинерциальностью системы отсчета, связанной с Землей вследствие ее суточного вращения. Смотри подробнее [1, § 6.3]. Отметим, что если в формуле (1) учесть действие только силы тяготения, то данное выражение будет определять вектор напряженности поля тяготения Земли. В силу малости центробежной силы инерции, действующей на тело в системе отсчета, связанной с Землей, в сравнении с силой тяготения числовые значения ускорения свободного падения и напряженности поля тяготения Земли будут иметь близкие значения.
Одним из простых и одновременно достаточно точных методов определения ускорения свободного падения тел g является метод, основанный на использовании математического маятника. Реально математический маятник представляет собой систему, состоящую из маленького шарика, который можно принять за материальную точку массой m, и тонкой невесомой нерастяжимой нити длиной l, подвешенной к неподвижной точке О, рис. 1. При колебании шарика на нерастяжимой нити шарик все время движется по дуге окружности, радиус которой равен l.
В качестве координаты, определяющей положение мятника, совершающего колебания в одной плоскости, можно взять угол между вертикальной линией, проходящей через точку подвеса и нитью маятника. Обозначим этот угол буквой φ. Причем, условимся углы, отсчитываемые вправо от положения равновесия считать положительными, влево – отрицательными.
Для обоснования сущности данного метода воспользуемся вторым законом Ньютона. На маятник массой m действуют две силы: сила тяжести и сила упругости нити . Тогда уравнение движения маятника (второй закон Ньютона) будет иметь вид:
(2)
Д ля установления характеристик маятника (определения зависимости силы натяжения от угла φ, зависимости угла φ от времени) следует спроецировать вектора, входящие в уравнение (1), на две оси. Одну, направленную вдоль нити подвеса, задаваемую единичным вектором , вторую по касательной к траектории, задаваемую единичным вектором , рис. 1. На этом рисунке отмечено мгновенное положение маятника при движении вправо. При смене направления движения маятника влево направление выбранных осей не изменяется в отличие от направления вектора скорости .
Для нашей цели достаточно спроектировать вектора на направление . Определяя из рисунка 1 проекции сил и ускорения на ось , получим скалярное уравнение:
(3)
Знак «–» в уравнении (3) справа обусловлен тем, что проекция силы тяжести на касательное направление отрицательна ( ), а угол φ для данного положения маятника по определению положителен. При движении маятника влево от положения равновесия угол φ по определению отрицателен, а проекция силы тяжести на ось положительна. Это означает, что знаки проекции силы тяжести на ось и угла φ всегда противоположны.
Ограничиваясь малыми углами отклонения маятника, можно sinφ заменить значением угла φ, выраженным в радианах. Так для φ = 10^о = 0,1745 рад получаем: sin(0,1745) ≈ 0,1736. Из этого примера видно, что разница между значением угла φ в радианах и значением синуса этого угла в радианах для угла в 10^о не превышает 0,5%. При меньших значениях угла φ это различие будет еще меньшим, а предложенная замена будет более точной. Поэтому рекомендуется в экспериментах задавать отклонения угла маятника не более 10^о. При этом условии уравнение (3) примет вид:
(4)
Из школьного курса физики известна связь между линейной и угловой скоростями движения м.т. по окружности:
. (5)
С другой стороны угловая скорость равна первой производной угла поворота φ по времени:
. (6)
По определению касательного ускорения имеем:
. (7)
В формуле (7) мы учли определения (5) и (6). Тогда с учетом определений (7) уравнение (4) примет вид:
или . (8)
Легко проверить, что размерность множителя в формуле (8) имеет вид: , что соответствует размерности квадрата циклической частоты ω_о. Поэтому обозначим данный множитель как ω_о². Тогда уравнение (8) примет окончательно вид:
. (9)
Решением данного уравнения будет гармоническая функция вида:
, (10)
где φ_о – амплитуда колебаний, α – начальная фаза колебаний. Справедливость этого решения можно проверить его подстановкой в уравнение (9). Если решение (10) верно, то оно превращает уравнение (9) в тождество. Проверку этого решения рекомендуется выполнить студентам самостоятельно.
Циклическая частота колебаний математического маятника, как следует из вывода уравнения (9), определяется выражением: . Тогда для периода колебаний математического маятника, исходя из его определения, как времени одного колебания, получим выражение:
(11)
Возведем обе части уравнения (11) в квадрат, получим:
. (12)
Уравнение (12) подобно уравнению прямой вида: , если в качестве углового коэффициента k взять
, (13)
а в качестве переменных x и y соответственно lи T².
Строя график зависимости квадрата периода Т² отдлины маятника l мы должны получить линейную зависимость. Определяя тангенс угла наклона этого графика к оси абсцисс (оси l), и используя формулу (13), можем рассчитать ускорения свободного падения:
(14)