Kvant statistikasi elementlari

Kvant statistikasi elementlari

Reja:


1. Kvant tizimini statistik tavsiflash.
2. Kvant xossali ideal gaz.
3. Elektron gazning alayonlanishi.

Tayanch so’z va iboralar: ko’p zarrachali sistemalar, birxil ko’p zarrachalar to’lqin funksiyalarining simmetriyasi, N-o’lchovli tasviriy fazo, umumlashgan koordinatalar, hajm elementi, sistemaning mikroholatlari, mikroholatlarning ehtimolligi, klassik va kvant statistik ehtimolliklar orasidagi farq, koordinata va impulpslar fazosida hajm elementlari, fizik kattaliklarning o’rtacha qiymati, turli mikrozarrachalarning taqsimot funksiyalari, kimyoviy potensial; Boze-Eynshteyn, Fermi-Dirak, Maksvell taqsimotlari; Muvozanatdagi issiqlik nurlanishi energiyasining zichligi, fotonlar, mikrozarrachalarning ichki erkinlik darajasi, chastotalari  va  +d bo’lgan zarrachalar soni, energiyasi. Metallarning erkin elektronlari, energiyalari ye va ye+dE oraliida bo’lgan valent elektronlarining soni, Fermi sat’i, elektronlarning alayonlanishi,

1. Kvant tizimining statistik tavsifi

Ma’lumki moddalar tinimsiz va tartibsiz harakat qiluvchi atom va molekulalardan tashkil topgan. Ularning atom va molekulalari haqidagi maolumotlarga asoslanib, makroxossalarini o’rganuvchi fizikaning bo’limiga statistik fizika deyiladi. Ko’psonli zarrachalardan tashkil topgan sistemaning xossalari statistik qonunlarga bo’ysunadi. Statistik qonunlarni o’rganish natijasida sistema makroxossalarini hisoblash mumkin. Mazkur hisoblar sistema tarkibiga kirgan zarrachalarning ichki xossalariga, ularning harakatiga, o’zaro va tashqi muxit (jism) bilan taosirlashishlariga boliq bo’ladi.


Sharoitga qarab sistemaninng zarrachalari klassik yoki kvant mexanikasi qonunlariga bo’ysunadi. Npyuton mexanikasiga bo’ysunuvchi ko’psonli zarrachalardan tashkil topgan sistemalarning makroxossalarini (masalan: gazning energiyasini, uning idish devorlariga bosimini, maolum termodinamik jarayonlarda issiqlik, ish va energiya orasidagi bolanishlarni) klassik statistika o’rganadi. Kvant mexanikasi qonunlariga bo’ysunuvchi ko’p sonli mikrozarrachalardan tashkil topgan sistemalarning makroxossalarini(maslan: kristall panjaraning issiqlik siimi, qattiq jismlarning issiqlik va elektr o’tkazuvchanligi, issiqlik nurlanishi energiyasi va h.k.larni) kvant statistikasi o’rganadi.
Har ikki holda ham statistik qonuniyatlarni miqdor ji’atdan tavsiflash uchun ko’p o’lchovli tasviriy fazodan foydalaniladi. Tasviriy fazoni odatda fazaviy fazo deyiladi. Fazaviy fazoning koordinata o’qlari sifatida sistemaga kirgan zarrachalarning q_i koordinata va r_i impulpslari qabul qilinadi (i = 1,2,3,...,N). Berilgan sistema N zarrachadan tashkil topgan bo’lsa fazaviy fazo 6N o’lchovli bo’ladi. O’qlardan 3N tasi sistemadagi barcha zarrachalar koordinatalarining uchtadan proeksiyasiga, qolgan 3N o’qlar esa, mos ravishda impulpsning proeksiyalariga tegishli bo’ladi. Sistema bitta erkinlik darajasi bilan xarakterlansa fazaviy fazo ikki o’lchovli, erkinlik darajasi f bo’lsa - 2f o’lchovli bo’ladi.
Tasviriy fazodagi q va r larning qiymatiga mos kelgan “a” nuqta (13.1-rasm) berilgan vaqtdagi makro’olatga mos sistemaning mikro’olatini aniqlaydi yoki berilgan vaqtda sistemaning barcha zarrachalarining q_i koordinatalari va r_i impulpslarining majmuini belgilaydi va uni tasviriy yoki fazaviy nuqta deyiladi. Zarrachalarning o’zaro yoki sistemani o’rab olgan mu’it bilan taosirlashishi tufayli vaqt o’tishi bilan sistemaning makro’olati o’zgaradi. Bu hodisani fazaviy fazoda nuqtaning siljishi bilan ifodalash mumkin. yetarlicha ko’p vaqt o’tishi bilan (T ) fazoda nuqtalar buluti hosil bo’ladi. Bu nuqtalar sistemaning berilgan makro’olatiga mos mumkin bo’lgan mikro’olatlaridan birini belgilaydi. Vaqt o’tishi bilan fazaviy nuqta tasviriy fazoning ixtiyoriy joyiga borib qolishi mumkin. Demak yetarlicha ko’p vaqt oraliida sistema, berilgan makro’olatga mos, mumkin bo’lgan barcha mikro’olatlardan o’tadi.
Yuqorida tasvirlangan fazaviy fazodagi manzara sistema xossalarini statistik bayon etish uchun mu’im kattalikni kiritishga imkon beradi. SHu maqsadda fazaviy fazoning quyidagi kichik bir hajm elementini ajratib olamiz:
dV = dq₁dq₂dq₃....dq_3Ndr₁dr₂dr . . . dr_3N. (13.1)

Mazkur hajm zarrachalarning koordinata va impulplslari q_i, q_i+dq_i va r_i, r_i+ dr_i oraliqlarida bo’lgan qiymatlariga mos keladi.

Etarlicha ko’p vaqt o’tganda fazaviy fazoning istalgan dqdr qismidan o’ta chalkash fazaviy traektoriya ko’p marotaba o’tadi deb aytish mumkin.
Faraz qilaylik dt vaqt davomida sistemaning mikro’olatlari dqdr hajm elementi ichidagi fazaviy nuqtalar bilan ifodalansin, u holda
(13.2)
ifodani hodisalarning sodir bo’lish chastotasi yoki aniqroi, agar sistema kuzatilsa u istalgan vaqt la’zasida koordinata va impulpslari q, q+dq va r, r+ dr bo’lgan mikro’olatlarning birida bo’lish e’timolligi deb qarash mumkin.
Demak (13.1) dan ko’rinib turibdiki, hajm elementi qancha katta bo’lsa fazaviy nuqtaning uning ichida bo’lish e’timolligi shuncha ko’p bo’ladi, yaoni
dw  dqdr

Bu ifodaga f(q,r) ko’rinishida proporsionallik koeffisientini kiritib quyidagini hosil qilamiz:

dw = f(q,r)dqdr (13.3)

bu yerda f(q,r) - e’timollik zichligi vazifasini o’taydi va uni sta-tistik taqsimot funksiyasi yoki oddiygina taqsimot funksiyasi deb ataymiz. Taqsimot funksiyasi shunday bo’lishi kerakki, u quyidagi shartni bajarilishini taominlashi lozim:

(13.4)