Квадратная форма и его приведение в канонический вид

Ташкентский университет информационных технологий имени Мухаммада ал-Хоразмий Карши филлиал
Предмет: Линейная алгебра


2.Самостоятельная работа

Тема: Квадратная форма и его приведение в канонический вид .

Выполнил: Ахадов Саидкарим
Проверил: Мусурмонова Шахло
Карши 2021
Квадратичные формы.
1. Понятие квадратичной формы. Пусть - симметричная билинейная форма, заданная на линейном пространстве .
Определение 1. Квадратичной формой называется числовая функция одного векторного аргумента , которая получается из билинейной формы , при .
Симметричная билинейная форма называется полярной к квадратичной форме .
Полярная билинейная форма и квадратичная форма связаны следующим соотношением:
. (1)
Действительно вычислим величину :
. (2)
Так как билинейная форма симметрична, то
. (3)
Поэтому:
. (4)
Откуда непосредственно следует:
. (5)
Пусть в конечномерном линейном пространстве , задана симметричная билинейная форма , полярная к квадратичной форме. Пусть, кроме того, в задан базис .
Теорема 1. Билинейная форма при заданном в - мерном евклидовом пространстве базисе может быть однозначно представлена в следующем виде:
, (6)
где , а - координаты в базисе векторов и соответственно.

Согласно теореме 1. форму можно представить в виде:

, (7)
где и - координаты векторов и в базисе . Поэтому в силу (3), имеем:
. (8)
Полагая (или, что то же самое, ), получим следующее представление для квадратичной формы:
. (9)
Матрица называется матрицей квадратичной формы в заданном базисе . Согласно (8), матрица является симметричной. Матрица квадратичной формы при переходе к новому базису преобразуется по формуле :
. (10)
Ранг матрицы не меняется при переходе к новому базису. Ранг матрицы квадратичной формы называется рангом квадратичной формы. Если ранг квадратичной формы равен размерности пространства , то форма называется невырожденной, в противном случае – вырожденной.