Квадратная форма и его приведение в канонический вид

2. Виды квадратичных форм.
Определение 1. Квадратичная форма называется:
1) положительно (отрицательно) определенной, если для любого ненулевого выполняется неравенство:
; . (11)
Такие формы называются также знакоопределенными.
2) знакопеременной, если существуют также элементы , что
; . (12)
3) квазизнакоопределенной, если для всех справедливы неравенства:
или , (13)
но имеется хотя бы один ненулевой элемент , для которого
. (14)
Справедливо утверждение: Если представляет собой билинейную форму, полярную к квадратичной форме , то удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения векторов в евклидовом пространстве.
Рассмотрим аксиомы скалярного произведения. Если для скалярного произведения элементов и вместо обозначения использовать символ , то аксиомы запишутся в виде:
1). .
2). .
3). .
4). , и , если .
Таким образом, выполняются все аксиомы скалярного произведения.
Замечание. Аксиомы скалярного произведения можно рассматривать как совокупность требований, определяющих билинейную форму, полярную к положительно определенной квадратичной форме. Поэтому скалярное произведение в линейных пространствах может быть задано с помощью такого вида билинейной формы.


Приведение квадратичной формы к каноническому виду.


1. Канонический вид квадратичной формы.
Определение 2. Квадратичная форма называется приведенной к каноническому виду, если существует в - мерном линейном пространстве такой базис , что в этом базисе квадратичная форма имеет вид:
. (15)
Величины - координаты элемента в базисе , - канонические коэффициенты квадратичной формы .
Будем рассматривать квадратичные формы в произвольном вещественном линейном пространстве. Докажем возможность приведения к каноническому виду любой квадратичной формы в произвольном вещественном линейном пространстве. Параллельно рассмотрим основные методы приведения квадратичных форм к каноническому виду.
Все дальнейшие рассуждения основаны на следующем утверждении: каждому преобразованию базиса отвечает невырожденное преобразование координат, а невырожденному преобразованию координат преобразование базиса. Поэтому вопрос о приведении квадратичной формы к каноническому виду можно решить путем выбора соответствующего невырожденного преобразования координат.