Квадратная форма и его приведение в канонический вид

2. Метод Лагранжа. Справедливо следующее основное утверждение.
Теорема 2. Любая квадратичная форма , заданная в - мерном линейном пространстве , с помощью невырожденного линейного преобразования координат может быть приведена к каноническому виду (15).
Доказательство. Приведем доказательство теоремы методом Лагранжа. Основная идея этого метода заключается в последовательном дополнении квадратного трехчлена по каждому аргументу до полного квадрата. Будем считать, что . Если , то ее матрица в любом базисе состоит из нулевых элементов, и поэтому такая форма по определению имеет канонический вид в любом базисе. Итак, пусть . Пусть, кроме того, в данном базисе:
. (16)
Убедимся, что с помощью невырожденного преобразования координат квадратичную форму можно преобразовать так, что коэффициент при квадрате первой координаты вектора будет неравен нулю: . Если в (16) , то нужное преобразова­ние является тождественным . Всякое тождественное преобразование не вырождено: . Пусть теперь , но какой-либо из коэффициентов , . Тогда, для того, чтобы добиться требуемого результата , необходимо произвести перенумерацию базисных векторов, которая также является невырожденным преобразованием. После соответствующей перенумерации имеем: . Возможен, наконец, третий случай, когда все , . Тогда, по определению квадратичной формы, хотя бы один из коэффициентов , . Пусть . Если это не так, снова произведем перенумерацию базисных векторов так, чтобы . Рассмотрим следующее невырожденное преобразование координат:
. (17)
Преобразование (17) не вырождено, так как его определитель . Так как в рассматриваемом случае все , то квадратичная форма (16) имеет вид:
(18)
После подстановки преобразование (17) в (18), получим:
(19)
Таким образом, коэффициент , т.е. всегда можно добиться того, чтобы .
Выделим теперь в выражении (16) группу элементов, содержащих .
. (20)
Преобразим первую группу слагаемых следующим образом:
(21)
Подставляя (21) в (20) и выполняя тождественные преобразования, получим:
. (22)
- коэффициенты квадратичной формы, получающиеся после выполнения преобразований.
Рассмотрим теперь невырожденное преобразование:
(23)
С помощью этого преобразования квадратичная форма (22) запишется в виде:
. (24)
Таким образом, если квадратичная форма (16), то с помощью преобразования (23) ее можно привести к виду (24)
Обратимся теперь к квадратичной форме . Если эта форма тождественно равна нулю, то вопрос о приведении квадратичной формы к каноническому виду решен. Если же форма , то можно повторить описанные выше рассуждения для координат , не меняя при этом координату . Такого типа преобразования координат будут невырожденными. За конечное число шагов путем описанных невырожденных линейных преобразований квадратичная форма из (16) будет приведена к каноническому виду. Нужное преобразование от исходных координат к конечным может быть получено как результат перемножения найденных в процессе доказательства невырожденных преобразований. Теорема доказана.