Курсовая работа студент группы

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

ФЕРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет __________________
Направления __________________

КУРСОВАЯ
РАБОТА

Студент ______ группы
__________________________________________
__________________________________________
по теме ______________________________________ __________________________________________

Сдал(а): ___________________
Принял(а): ___________________
Фергана 2021 год
План
Введеные

1. 
   Автаномние системи .
   
2. 
   Понятие автаномной системи дифференциальных уравнений.
   
3. 
   Автаномний системи на плоскости.
   
4. 
   Троекторинн автаномных системы.
   
5. 
   Автаномная динамическая системи на плоскости.
   
6. 
   Свойства решений автаномних система.
   
7. 
   Понятие устойчивого положения равноверсия автаномной системы.
   

Заключение
Используемая литература

Введение.

Решения большинства дифференциальных уравнений и их систем не выражаются через элементарные функции, и в этих случаях при решении конкретных уравнений применяются приближенные методы интегрирования. Вместе тем часто бывает необходимо знать не конкретные численные решения, а особенности решений: поведение отдельных решений при изменении параметров систем, взаимное поведение решений при различных начальных данных, является ли решение периодическим, как меняется общее поведение системы при изменении параметров. Все эти вопросы изучает качественная теория дифференциальных уравнений.

2
Автономные системы.

Рассмотрим автономную систему  (1), где вектор-функция f(x) определена на всем пространстве  и удовлетворяет условию Липшица по всем своим аргументом в каждой ограниченной части пространства  . Тогда при начальном условии  существует и единственно решение  системы (1) определенная в некоторой окрестности точки t=0. Это решение рассматривается как закон движения точки в пространстве . При этом точка x описывает некоторую траекторию  зависящая от выбора начальной точки  . При законе движения x=x(t) вектор скорости определяется по формуле  . Поэтому автономная система (1) задает поле скоростей (направлений) в фазовом пространстве . Это означает, что каждой точке x из фазового пространства ставится в соответствие вектор  . Специфика автономной системы (1) у которой в правую часть не входит время t состоит в том, что заданное поле скоростей не меняется с течением времени, т.е. является стационарным. При продолжении решения  вправо, т.е. в сторону возрастания t, возможны 2 ситуации: 1) решение может быть продолжено на всю полуось  ;
2)при приближении  конечному t,  (т.е. решение уходит на бесконечность).
Далее будем считать, что всегда имеет место первая ситуация. Покажем, что это ограничение не уменьшает общности. В самом деле вместе с системой (1) рассмотрим автономную систему
(2), где скалярная функция  и удовлетворяет тем же условиям, что и вектор-функция f(x). Эта система обладает теми же траекториями, что и система (1), отличается только скорости прохождения по эти траекториям. Поэтому можно подобрать скалярную функцию r так, чтобы скорост движения определяемая системой (2) была ограниченной. В этом случае движущаяся точка не может уйти в бесконечность за конечное время, т.е.2-ая ситуация не возможна. Для каждой точки данная вектор-функция дает решение системы (1), поэтому выражение (3) определяет точку в которую перемещается точка за момент времени t. Вектор-функция (3) обладает следующими свойствами: 1) она непрерывна по совокупности переменных;
3
2) 
3) .
Из свойства 2) ,3) вытекает, что при фиксированных параметрах t отображение ,  пространства на себя являются взаимно обратным.
Свойство: Если две траектории имеют общую точку, то они совпадают, а соответствующие решения отличаются лишь сдвигом по времени.
Т.1:Решение x(t) системы (1) может быть только одного из следующих трёх видов:
1) непериодическое, для которого  при  ;
2)периодическое для которого найдется такая постоянная T (период), что  ,а  при  ;
3) постоянное, для которого 
+Траектории соответствующие 1-му виду назыв. незамкнутыми ; 2- замкнутыми; 3- точкой покоя или состоянием равновесия.