Курсовая работа студент группы

Автаномная динамическая система на плоскости
Будем рассматривать качественные методы исследования автономной динамической системы второго порядка:
(1.1)
где Р(х, у), Q(x, у) — непрерывные функции, определенные в некоторой области G евклидовой плоскости и имеющие в этой области непрерывные частные производные до порядка не ниже первого. Рассматриваемая область G может быть как ограниченной, так и неограниченной. Будем считать, что Р(х, у) и Q(x, у) являются аналитическими функциями, т.е. могут быть разложены в сходящиеся ряды по степеням х и у в окрестности всякой точки М(х, у) из области определения системы G.
Систему (1.1) будем называть динамической системой на плоскости. При этом в простейшем случае фазовая поверхность будет представлять собой обычную плоскость с декартовыми координатами х, у. В более сложных случаях фазовая поверхность системы может представлять собой цилиндр, сферу или тор. Так, при рассмотрении вращения твердого тела или некоторой точки вокруг одной оси движение изображающей точки изучают на цилиндрической фазовой поверхности.
Если функции Р(х, у) и Q(x, у) являются функциями класса С_п, т.е. имеют в области G непрерывные частные производные до порядка п включительно, то динамическую систему (1.1) называют системой класса С. Все динамические системы, рассматриваемые в данном пособии, являются
20
системами класса С_у В связи с этим в дальнейшем под динамической системой будем всегда понимать систему класса С_{. Рассмотрим решение системы (1.1):

Зависимости (1.2) представляют собой семейство интегральных кривых в пространстве xyt, проекции которых на плоскость ху образуют семейство фазовых траекторий системы (1.1). Так как система (1.1) является автономной, то все интегральные кривые с одинаковыми начальными
значениями фазовых координат х₀, у₀, но с различными значениями /₀ проектируются на одну и ту же фазовую траекторию и представляют собой в пространстве xyt цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны оси t.
Выражения (1.2) представляют собой параметрическую форму уравнений фазовых траекторий. Для записи уравнений фазовых траекторий в явном виде необходимо из зависимостей (1.2) исключить независимую переменную t. Есть и другой путь определения уравнений фазовых траекторий. Он заключается в преобразовании системы (1.1) к одному дифференциальному уравнению первой степени путем деления второго уравнения системы на первое:
(1.3)
Во многих случаях решение уравнения (1.3) находится проще, чем решение системы (1.1). Записанное в виде F(x, у) = С решение уравнения (1.3) определяет семейство фазовых траекторий системы (1.1).
Известно, что условия теоремы Коши о существовании и единственности решения для аналитических систем выполняются. Вследствие этого существует единственное решение (1.2), которое удовлетворяет системе (1.1) и заданным начальным условиям х = х₀, у = у₀, t = t_Q. Аналогично условия единственности выполняются также и для уравнения (1.3). Поэтому через каждую точку плоскости ху проходит единственная фазовая траектория. Следовательно, во всех точках (за исключением особых) плоскости ху фазовые траектории не могут пересекаться.
Будем рассматривать в каждой точке М(х, у) области G вектор v с компонентами Р(х, у), Q(x, у). Таким образом, динамическая система (1.1) определяет в области С векторное поле. Учитывая, что Р(х, у) и Q(x, у) имеют непрерывные частные производные, векторное поле, определяемое системой (1.1), является непрерывно дифференцируемым. Если в точке М(х, у) хотя бы одна из величин Р(х, у), Q(x, у) не обращается в нуль, то
21
длинная вектора v в этой точке

отлична от нуля, а синус и косинус угла 0 между положительными направлениями оси х и направлением вектора v определяются выражениями

Для тех точек области G, в которых одновременно выполняются условия Р(х, у) = 0 и Q(x, у) = 0, длина вектора v обращается в нуль, а
направление вектора становится неопределенным. Эти точки
называют особыми точками векторного поля или особыми точками системы (1.1). Точки области G, в которых хотя бы одна из компонент Р(х, у), Q(x, у) не равна нулю, называют обыкновенными или неособыми точками системы. Если точка М(х, у) не является особой точкой, то вектор v будет касательным вектором к фазовой траектории. Решение (1.2) можно считать законом движения изображающей точки по фазовой траектории, а вектор v — скоростью этой точки, или фазовой скоростью.
Уравнение (1.3) можно рассматривать в качестве зависимости, определяющей значение углового коэффициента касательной к траектории, который в любой точке фазовой поверхности (за исключением особых точек) может быть представлен в виде ненаправленного отрезка (в то время как система (1.1) в каждой точке определяет вектор). Тогда кривые

(где к — некоторая константа) на фазовой плоскости представляют собой геометрическое место таких точек, через которые фазовые траектории системы (1.1) проходят под одним и тем же углом к оси абсцисс, а именно под углом, тангенс которого равен к. Поэтому кривые (1.4) носят название изоклин (кривых равного наклона).