Курсовая работа по математическому анализу ряды фурье и их применение

Пример 3. Разложить функцию на промежутке в ряд Фурье по косинусам. Построить график суммы ряда.
Решение: продолжим функцию на промежуток четным образом, то есть построим новую четную функцию , совпадающую на отрезке с функцией . Найдем коэффициенты ряда Фурье для функции и запишем ряд Фурье. Сумма ряда Фурье для - периодическая функция, с периодом . Она будет совпадать с функцией на во всех точках непрерывности.
Тригонометрический ряд Фурье для функции будет иметь вид

Найдем коэффициенты ряда Фурье







Таким образом, когда найдены коэффициенты, можно записать ряд Фурье

Построим график суммы ряда


Пример 4. Дана функция , определенная на отрезке [0;2 ]. Выяснить, можно ли разложить функцию в ряд Фурье. Записать разложение функции в ряд Фурье [6].
Решение:
1) построим график функции на [0;2 ].

2) функция непрерывна и монотонна на [0;2 ], то есть по теореме Дирихле разлагается в тригонометрический ряд Фурье.
3) вычислим коэффициенты Фурье по формулам (1.19).








4) запишем ряд Фурье, используя найденные коэффициенты.

2.2. Примеры применения рядов Фурье в различных областях деятельности человека

Математика – одна из наук, которая имеет широкое применение на практике. Любой производственно-технологический процесс основан на математических закономерностях. Применение различных инструментов математического аппарата позволяет конструировать устройства и автоматизированные агрегаты, способные выполнять операции, сложные расчеты и вычисления при проектировании зданий, сооружений.
Ряды Фурье применяются математиками в геометрии при решении задач в сферической геометрии; в математической физике при решении задач о малых колебаниях упругих сред. Но кроме математики ряды Фурье нашли свое применение и в других областях наук.
Ежедневно люди пользуются различными устройствами. И зачастую эти устройства работают неисправно. Например, звук плохо различим из-за больших шумов или изображение, полученное по факсу, нечеткое. Причину неисправности человек может определить по звуку. Компьютер также может провести диагностику повреждения устройства. Лишние шумы можно убрать с помощью компьютерной обработки сигналов. Сигнал представляют в виде последовательности цифровых значений, которые затем вводят в компьютер. Выполнив определенные вычисления, получают коэффициенты ряда Фурье.

Изменение спектра сигнала позволяет очищать запись от шумов, компенсировать искажения сигнала различными устройствами звукозаписи, менять тембры инструментов, акцентировать внимание слушателей на отдельных партиях.
В цифровой обработке изображений применение рядов Фурье позволяет проводить следующие эффекты: размытие, подчеркивание границ, восстановление изображений, художественные эффекты (тиснение)
Разложение в ряд Фурье применяется в архитектуре при исследовании колебательных процессов. Например, при создании проекта различного вида конструкций рассчитывают прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций.
В медицине для проведения медицинского обследования с помощью кардиограмм, аппарата УЗИ пользуются математическим аппаратом, в основе которого лежит теория рядов Фурье.
Объемные вычислительные задачи оценки статистических характеристик сигналов, фильтрации шумов возникают при регистрации и обработке данных морского непрерывного дна. При постановке измерений, их регистрации перспективны голографические методы, использующие ряды Фурье. То есть ряды Фурье применяются и в такой науке как океанология.
Элементы математики встречаются на производстве практически на каждом шагу, поэтому специалистам важно знать и блестяще ориентироваться в области применения тех или иных инструментов анализа и расчета [7].