Kurs ishi mavzu: O’rama va yoyiluvchi sirtlar

Teorema.Yoyiluvchi har qanday sirt (tros) ni teksiliklarning bir parametrli oilasining o’ramasi deb qarash mumkin.

Isbot. Xaqiqatan, trosning yasovchilari bir parametrli oilani tashkil qiladi.Har bir yasovchidan yagona urinma tekislik o’tadi,demak, trosning barcha urinma tekisliklari ham bir parametrli oilani tashkil qiladi va tros bu oila uchun o’rama vazifasini bajaradi.

Teoremani oldinki muhokamalar bilan birgalikda qaraganda, quyidagi muhim natija kelib chiqadi:

Natija:Sirtning yoyiluvchi (tros) bo’lishligi uchun u bir parametrli tekisliklar oilasining o’ramasi bo’lishi zarur va yetarlidir.

Endi yana umumiy holga o’tib, oilaning qaytish qirrasini aniqlaymiz.Uning radius vektori ushbu uchta tenglamani qanoatlantirishi kerak:

(3)

Bu tenglamalar ga nisbatan chiziqlidir,sistema detirminanti ushbuga teng:

Ikki holni ko’ramiz.

1) . Bu holda (3) sistemani ga nisbatan bir qiymatli ravishda yechib, ni orqali ifodalaymiz:

(4)

Agar - o’zgaruvchi vektor bo’lsa, (4) tenglama egri chiziqni - qaytish qirrasini ifodalaydi. Uning yopishma tekisliklari qaralayotgan oilaning tekisliklaridan iborat bo’ladi. Xaqiqatan, (3) ning birinchi va ikkinchi tenglamalari bilan berilgan tekisliklarda yotadi,demak, uning urinmasi shu tekisliklarning

normallari bo’lgan va vektorlarga tikdir:

Bu tengliklardan birinchisini bo’yicha differensiallab,ikkinchisiga asosan, ushbuni hosil qilamiz:

Shunday qilib, demak, oila tekisligi ga urinib ni o’z ichiga oladi.

Biz ni tashlab ketdik. Bu holda qaytish qirrasi nuqtaga aylanib, barcha xarakteristikalar bitta nuqtadan o’tadi. Oila teksiliklarining o’ramasi konik sirt bo’ladi.

2) . Demak, vektorlar komplanardir,shu sababli ularga tik vektor mavjud bo’lib oila tekisliklari ga parallel, ya’ni vektorlar yotgan teksilikka tikdir. O’rama bu holda yo’nalishi o’zgarmas xarakteristikaning harakatidan hosil qilinib, silindirik sirtni tasvirlaydi.

Xullas,bir parametrli tekisliklar oilasing o’ramasi yuqorida ko’rilgan uch tip yoyiluvchi sirtni beradi: urinmalar sirti,kanonik sirt, silsindirik sirt (oxirgi holda qaytish qirrasi mavjud emas).

Teorema. Agar sirt tenglama bilan berilgan bo’lsa, uning yoyiluvchi sirt bo’lishi uchun ifoda nolga teng ya’ni

Bo’lishi zarur va yetarlidir, bunda ( bu belgilashni MONJ kiritgan).

Isbot. Berilgan sirt yoyiluvchi bo’lsin, u holda uning urinma tekisliklari:

Bir parametrli oilani tashkil qiladi, ya’ni uchta koeffisient bitta parametrga bog’liq bo’ladi:

Bu tenglamalarning oldinki ikkitasidan va o’zaro bog’liq degan xulosaga kelamiz: ; demak, ulardan tuzilgan yaqobian nolga teng:

Teskari teoremaning isbotiga to’xtalmaymiz. (5) shartning geometrik ma’nosi keyinroq oydinlashadi.

Eslatma. Troslardan boshqa ixtiyoriy sirtlarni olganda, ularning urinma tekisliklari ikki parametrli oilani tashkil qiladi. Demak, troslarning xarakteristik xossasi ularning urinma teksiliklari oilasining bir parametrli bo’lishidir.