Kurs ishi mavzu: O’rama va yoyiluvchi sirtlar

Yoyiladigan sirtlar

U ch yo’naltiruvchi sirtning m, n, ℓ yo’naltiruvchilardan n va ℓ nuqta bo’lib, ular ustma-ust tushsa, yasovchilari uning konus sirtini hosil qiladi. Shuning uchun konus m egri chiziq va S nuqta bilan beriladi. Uning aniqlovchilari (m,S) bo’ladi. 4,b–rasmda m(m′, m″) yo’naltiruvchi va S(S′, S″) uchi bilan berilgan konusning tekis chizmada berilishi va sirtda nuqta tanlash ko’rsatilgan.

A gar S nuqtani biror s yo’nalishda cheksiz uzoqlashtirilsa, m egri chizig’ini kesib o’tuvchi Konusning bu xususiy holi silindr deb yuritiladi

(5,a-rasm).

6,b–rasmda silindrning tekis chizmada berilishi ko’rsatilgan.

2.2 Sirtlar oilasining o’ramasi

Bir parametrli sirtlar oilasining o’ramasi tushunchasi chzizqli nazariyadagi tushuncha singari vujudga keltiriladi.

Bir parametrli regulyar sirtlar oilasi berilgan bo’lsin:

(1)

bunda funksiya sohada regulyar funksiya bo’lib,shu sohada uchinchi tartibgacha hosilalarga ega deb faraz qilamiz.

Ta’rif. Bir parametrli (1) sirtlar oilasining o’ramasi deb shunday sirtga aytamizki, u o’zining har bir nuqtasida shu oilaning aniq bir sirtiga urinadi.

Urinish nuqtasi o’rama oilaning sirti uchun oddiy nuqta deb faraz qilinadi.

Ta’rifga ko’ra, o’rama sirtning har bir nuqtasiga oilaning bitta sirti mos keladi: o’rama bo’ylab harakat qilinsa, oilaning yangi-yangi sirtlari vujudga keladi,boshqacha aytganda parametr o’zgara boradi,demak, bu parameter o’ramadagi nuqtaning biror funksiyasidir:

O’rama sirt mavjud deb faraz qilamiz va uni aniqlash usulini beramiz.

Oila tenglamasiga ni qo’ysak, ayniyat hosil qilinadi: .

Buni bo’yicha differensiallaymiz:

(2)

yoki

(3)

Oilaning har bir sirti uchun o’zgarmasdir, shu sababli (1) differensiallasak

(4)

bo’ladi.Biroq ikkala sirtning umumiy nuqtasi oddiy bo’lgani uchun .Endi shartga ko’ra shu nuqtada ham oila sirti uchun, ham o’rama uchun umumiydir (ular umumiy urinma tekislikga ega),demak, (2) dan

Ammo o’rama sirt bo’ylab harakat qilganda chunki o’ramaning nuqtasidan nuqtasiga o’tganda parametr o’zgara boradi shuning uchun

Xullas oilaning o’ramasi mavjud bo’lsa,uning nuqtalari ikkita tenglamani qanoatlantiradi:

(5)

Bu ikki tenglamadan ni yo’qatilsa,o’ramaning koordinat formadagi tenglamasi hosil bo’ladi:

(6)

O’ramaning mavjudligi uchun (5) shartlar faqat zaruriy bo’lganidan, (6) tenglama umumiy aytganda o’ramadan boshqa sirtlarni ham ifodalashi mumkin.

Shu sababli uni mustaqil ravishda qaraganda , u oilaning Diskriminant sirti deyiladi. Bu sirtning tenglamasini (6) shaklda yozdik. Bu sirt bo’ylab siljiganda to’rtta o’zgaruvchi ikkita tenglama bilan bog’langan bo’ladi.

Shuning uchun bu tenglamalardan to’rtta o’zgaruvchini ikkita erkli va parametrlarning funksiyalari qilip ifodalasak, diskriminant sirtning parametrik tenglamalari kelib chiqadi.

Yuqordagi mulohazalardan ravshanki,o’rama sirt diskriminant sirt tarkibiga kiradi.

Aksincha diskriminant sirtning oila sirtlaridagi maxsus nuqtalardan holi bo’lgan qismlari,o’ramani tasvirlaydi. Diskriminant sirt bo’ylab siljiganda (3) va (5) tengliklar kuchga egadir,demak, (4) tenglik hosil qilinadi, shuning uchun oila sirtning normali sirt bo’yicha siljib brogan vektor tik bo’lib,ikkala sirtning urinma tekisliklari bir xildir.

parametrning har bir qiymatida (5) tenglamalar ikkita sirtni ifodalaydi.Bu sirtlar kesishsa,kesishish chizig’i oila sirtining xarakteristikasi deyiladi. Diskriminant sirt oila sirtlarining xarakterlaridan tuzilgandir.

Oila sirtlarining xarakteristikasi ajoyib xossaga egadir: o’rama sirt oila sirtiga xarakteristika bo’ylab urinadi, chunki uning nuqtalarida o’z qiymatini saqlab,o’ramaning (5) tenglamalarini qanoatlantiradi. Oilaning barcha xarakteristikalari egri chiziqlarning bir parametrli oilasini tashkil qiladi.

Xarakteristikalarning o’ramasi mavjud bo’lsa, u sirtlar oilasining qaytish qirrasi deyiladi. Uning tenglamasi bo’lsin.