Kurs ishi mavzu: No`malum parametrlarni baholashning haqiqatga maksimal o`xshashlik usuli

Asosli baho
Agarda n cheksizlikka intilganda statistika ehtimol bo`yicha noma`lum parametr ga yaqinlashsa, ya`ni ixtiyoriy kichik son uchun

munosabat o‘rinli bo`lsa, u holda statistik baho asosli baho deyiladi.
Demak, asosli baho tajribalar soni ortib borganida noma`lum parametrga ehtimol bo`yicha yaqinlashar ekan. Odatda har qanday statistik
bahodan asosli bo`lish talab etiladi. Matematik ststistikada asosli bo`lmagan
baholar o`rganilmaydi.
Misol. Tanlanma o`rta qiymat noma`lum matematik qurilma
ga asosli baho ekanligini ko`rsating.
Chebishev tengsizligiga va (3) munosabatga ixtiyoriy kichik son uchun

Oxirgi tengsizlikda dispersiya chekli bo`lsa, da limitga o`tsak, haqiqatan ham statistikaning asosli baholigi kelib chiqadi.
Umuman, ixtiyoriy siljimagan baho ning noma`lum
parametrga asosli baho bo`lishlik shartini keltiramiz.
Teorema. Agar statistika parametr uchun siljimagan baho bo`lib, uning dispersiyasi bo`lsa, u holda u asosli baho bo`ladi
Isbot. statistika siljimagan baho bo`lgani uchun
U holda ixtiyoriy uchun Chebishev tengsizligidan
quyidagi tengsizlikni yoza olamiz:
(5)
Ammo, shartga ko`ra, ixtiyoriy tayinlangan uchun da
Demak, (5) tengsizlikdan statistikaning asosli baho ekanligi
kelib chiqadi.

Matematik kutilma uchun ishonchlilik oralig‘i
Faraz qilaylik, tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi va dispersiyasi bo‘lsin. Noma’lum – parametr uchun ishonchlilik ehtimoli – ga teng bo‘lgan – ishonchlilik oralig‘ini tuzish masalasini qaraylik.
– hajmi – ga teng bo‘lgan tanlanma va unga mos tanlanma o‘rta
qiymati va dispersiyasini tuzaylik:

Eslatib o‘tamiz, – bir xil taqsimlangan, bog‘liqsiz tasodifiy miqdorlar
yig‘indisidantuzilgandir. Shuning uchun, markaziy limit teoremaga asosan uning
taqsimot funksiyasi normal qonunga yaqindir. ning matematik kutilmasini va
dispersiyasini hisoblaymiz:

Endi sonni shunday topaylikki, u uchun quyidagi munosabat o‘rinli
bo‘lsin:
₍₁₎
- tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi normal qonunga yaqinligini hisobga olib, (1) – tengsizlikning o‘ng tomondagi – sonini Laplas funksiyasi bilan bog‘laymiz:
(2)
Bu yerda - o‘rta kvadratik chetlanish.
Laplas funksiyasining xossasini inobatga olsak, (2) -
tenglikni quyidagicha yozish mumkin:
(3)
(1) va (3) tengliklardan quyidagini hosil qilamiz:

Oxirgi tenglikdan ni aniqlaymiz:
(4)
Bu yerda orqali Laplas funksiyasiga teskari funksiyani belgiladik.
(4) – tenglik bilan aniqlangan – soni noma’lum miqdor orqali yoziladi.
Yetarli katta lar uchun tanlanma dispersiya nazariy dispersiyaga yaqin
bo‘lgani uchun ni taqriban ga teng deyish mumkin, ya’ni

Shunday qilib, noma’lum o‘rta qiymat – uchun – ishonchlilik ehtimoliga teng – ishonchlilik oralig‘i
(5)
ga teng bo‘ladi. Bu yerda
diskret tasodifiy miqdor taqsimot qonuni berilgan bo‘lsin:
tasodifiy miqdor matematik kutilmasi deb, qator yig‘indisiga aytiladi va
(6)
orqali belgilanadi.
Matematik kutilmaning ma’nosi shuki, u tasodifiy miqdor o‘rta qiymatini ifodalaydi. Haqiqatan ham ekanligini hisobga olsak, u holda

Uzluksiz tasodifiy miqdor matematik kutilmasi deb
(7)
integralga aytiladi. (7) integral absolut yaqinlashuvchi, ya’ni bo‘lsa matematik kutilma chekli, aks holda matematik kutilma mavjud emas deyiladi.
Matematik kutilmaning xossalari:

1. 
   O‘zgarmas sonning matematik kutilmasi shu sonning o‘ziga teng, ya’ni
   

.
2. O‘zgarmas ko‘paytuvchini matematik kutilish belgisidan tashqariga chiqarish mumkin,

3. Yig‘indining matematik kutilmasi matematik kutilmalar yig‘indisiga teng,

1. 
   Agar bo‘lsa,