Kurs ishi Mavzu: Ko’p o’zgaruvchili funksiya va uning uzluksizligi. Bajardi

II bob. Ko’p o’zgaruvchili funksiyalar

2.1 R^m fazo va uning muhim to’plamlari.

R^m fazo m ta A₁, A₂, A₃, ... A_m (m > 1, butun son) to’plamlarning Dekart

ko’paytmasi ikkita A va V to’plamlarning Dekart ko’paytmasiga o’xshash ta’riflanadi. Agar A₁ = A₂ = . . . =A_m = R bo’lsa, u holda

To’plam R^m to’plam deb ataladi. R^m to’plamning (x₁, x₂, . . . x_m) shu to’plam nuqtasi deyiladi va u odatda bitta harf bilan belgilanadi: x = (x₁, x₂, . . . x_m) Bunda x₁, x₂, . . . x_m sonlar x nuqtaning mos ravishda birinchi, ikkinchi, . . . m – koordinatalari deyiladi.

Agar nuqtalar uchun x₁ = y₁, x₂ = y₂, . . . x_m = y_m. Bo’lsa , u holda x = y deb ataladi.

Ta’rif Ushbu

(1)

Miqdor x va y nuqtalar orasidagi masofa (Evklid masofasi) deb ataladi. Bunday aniqlangan masofa quyidagi xossalarga ega (bunda )

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   

Bu xossalarni isbotlaylik. (1) munosabatdan p(x, y) miqdorning har doim

manfiy emasligini ko’ramiz. Agar p(x, y) = 0 bo’lsa, unda y₁ – x₁ = 0, y₂ – x₂ = 0,

. . . , y_m – x_m = 0 bo’lib, x₁ = y₁, x₂ = y₂, . . . x_m = y_m ya’ni x = y bo’ladi. Aksincha x = y , ya’ni x₁ = y₁, x₂ = y₂, . . . x_m = y_m bo’lsa, u holda (1) dan p(x,y) – 0 bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa 1) – xossani isbotlaydi.

1. 
   munosabatdan
   

bo’ladi.

Masofaning 3) – xossasi ushbu

(2)

tengsizlikka asoslanib isbotlanadi, bunda a₁, a₂, . . . a_m; b₁, b₂, . . . b_m ixtiyoriy haqiqiy sonlar. Avvalo shu tengsizlikning to’g’riligini ko’rsataylik. Ravshanki, uchun

Bundan, x ga nisbatan kvadrat uchhadning manfiy emasligi

kelib chiqadi. Demak, bu kvadrat uchhad ikkita turli haqiqiy ildizga ega bo’lmaydi. Binobarin, uning diskrminanti

bo’lishi kerak. Bundan esa

bo’lib,

bo’ladi. Keyingi tengsizlikdan esa

bo’lishi kelib chiqadi. Odatda (2) tengsizlik Koshi – Bunyakovskiy tengsizligi deb ataladi.

Ixtiyoriy nuqtalarni olib, ular orasidagi masofani (1) formuladan foydalanib topamiz:



(3)

Endi Koshi – Bunyakovskiy tengsizligi (2) da

, ,

deb olsak, unda

bo’lib,

bo’ladi. Yuqoridagi (3) munosabatlarni e’tiborga olib, topamiz:

Bu esa 3) – xossani isbotlaydi.

2.2 R^m fazoda ketma-ketlik va uning limiti

Ushbu

akslantirishning tasvirlaridan tuzilgan

to’plam R^m fazoda ketma-ketlik deyiladi va 3* kabi belgilanadi. Har bir ni ketma-ketlik hadlari hadlari deyiladi.

R^m fazoda biror {x⁽ⁿ⁾}:

Ketma-ketlik va a = (a₁, a₂, . . . a_m) nuqta berilgan bo’lsin.

Ta’rif Agar olinganda ham shunday topilsaki, ixtiyoriy n > n₀ uchun



tengsizlik bajarilsa, a nuqta {x⁽ⁿ⁾}ketma-ketlikning limiti deyiladi va

yoki da

kabi belgilanadi.

Agar {x⁽ⁿ⁾}ketma-ketlik limitga ega bo’lsa, u yaqinlashuvchi ketma-ketlik deyiladi.

1-misol R^m fazoda ushbu

ketma-ketlikning limiti a = (0, 0, . . . 0) ekanini ko’rsating.

sonni olaylik. Shu ga ko’ra ni topamiz. Unda uchun

bo’ladi. Demak,

Ta’rifga ko’ra

bo’ladi.

Teorema R^m fazoda ketma-ketlikning a = (a₁, a₂, . . . a_m) ni intilishi:



uchun bir yo’la





. . . . . . . . .



bo’lishi zarur va yetarli. Demak,

Bu teorema R^m fazoda ketma-ketlikning limiti sonli ketma-ketlikning limitiga kelishini ifodalaydi.

2.3 Ko’p o’zgaruvchili funksiya va uning limiti.

R^m fazoda biror M to’plamni qaraylik: .

Ta’rif Agar M to’plamdagi har bir x = (x₁, x₂, . . . x_m) nuqtaga biror qoida yoki qonunga ko’ra bitta haqiqiy son mos qo’yilgan bo’lsa, M to’plamda ko’p o’zgaruvchili (m ta o’zgaruvchili) funksiya berilgan deyiladi va uni



kabi belgilanadi. Bunda M – funksiyaning aniqlanish to’plami x₁, x₂, . . . x_m – funksiya argumentlari, y esa x₁, x₂, . . . x_m o’zgaruvchilarning funksiyasi deyiladi.

Masalan, f – R^m – fazodagi har bir x = (x₁, x₂, . . . x_m) nuqtaga shu nuqta koordinatalari kvadratlarining yeg’indisini mos qo’yuvchi qoida, ya’ni

bo’lsin. Bu holda funksiyaga ega bo’lamiz. Bu funkiyaning aniqlanish to’plami M = R^m bo’ladi.

R^m+1 fazoning nuqtalaridan iborat ushbu

to’plam y = f(x₁, x₂, . . . x_m) funksiya grafigi deyiladi.

Maalan, ikki o’zgaruvchili

funksiyalarning grafigi R^m fazoda giperbolik hamda aylanma paraboloidlar bo’ladi.

Misol. Ushbu

funksiyaning aniqlanish to’plamini aniqlang.

Ravshanki, x va y argumentlarning qiymatlariga ko’ra z ning ma’noga ega bo’lishi uchun, x va y lar ushbu

munosabatda bo’lishi lozim. Bu tengsizliklarni tekislikning x + y +1 = 0 va x + y – 1 = 0 to’g’ri chiziqlar orasidagi nuqtalar koordinatalari qanoatlantiradi. Berilgan funksiyaning aniqlanish to’plami bo’ladi.

Misol Ushbu

funksiyaning aniqlanish to’plamini toping. Bu funksiya x va y larning

bo’ladigan qiymatlaridan aniqlangan. Keyingi tenglikdan topamiz:

Shunday qilib, berilgan funksiyaning aniqlanish to’plami

bo’ladi.

III bob. Ko’p o’zgaruvchili funksiyalarning uzluksizligi.

3.1 Ko’p o’zgaruvchili funksiyalarning uzluksizligi

R^m fazodagi M to’plamda funksiya berilgan bo’lib, nuqta shu to’plamning limit nuqtasi bo’lsin.

Ta’rif Agar

da, ya’ni

. . .

da funksiyaning limiti mavjud bo’lib,

ya’ni

bo’lsa, funksiya nuqtada uzluksiz deb ataladi.

Ta’rif (Geyne ta’rifi) Agar M to’plamning nuqtalaridan tuzilgan, a ga intiluvchi har qanday {x⁽ⁿ⁾} ketma-ketlik olinganda ham mos {f(x⁽ⁿ⁾)} ketma-ketlik hamma vaqt f(a) ga intilsa, f(x) funksiya a nuqtada uzluksiz deb ataladi.

Ta’rif (Koshi ta’rifi) Agar son uchun shunday topilsaki, tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha nuqtalarda



tengsizlik bajarilsa, f(x) funksiya a nuqtada uzluksiz deb ataladi.

funksiya argumentlarining orttirmalari



ga mos ushbu





ayirma f(x) funksiyaning a nuqtadagi to’liq orttirmasi deyiladi va kabi belgilanadi:

. . . . . . . . . . .

ayirmalar 24* funksiyaning a nuqtadagi hususiy orttirmalari deyiladi.

Ta’rif Agar

bo’lsa, f(x) funksiya a nuqtada uzluksiz deyiladi.

Ta’rif Agar f(x) funksiya M to’plamning har bir nuqtasida uzluksiz bo’lsa, funksiya shu to’plamda uzluksiz deyiladi.

Shuni ta’kidlash lozimki, yuqorida keltirilgan ta’riflar ko’p o’zgaruchili funksiyaning barcha o’zgaruvchilari bo’yicha uzluksizligini ifodalaydi.

3.2 Uzluksizlik funksiyalarning xossalari

Biz quyida ko’p o’zgaruvchili uzluksiz funksiyalarning xossalarini keltiramiz. Bunda bir o’zgaruvchili uzluksiz funksiyalarning xossalari to’g’risidagi ma’lumotlardan to’la foydalana boramiz.

Ko’p o’zgaruvchili uzluksiz funksiyalar ham bir o’zgaruvchili uzluksiz funksiyalarning xossalari kabi xossalarga ega.

f(x) funksiya to’plamda berilgan bo’lsin, M to’plamdan biror x⁰ nuqta olib, bu nuqtaning shu to’plamga tegishli bo’lhan yetarli kichik atrofini qaraylik. f(x) funksiya x⁰ nuqtada uzluksiz bo’lsin. Bunday f(x) funksiyaning x⁰ nuqtaning yetarli kichik atrofidagi xossalarini (lokal xossalarini) o’rganamiz:

1. 
   Agar f(x) funksiya nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda x⁰ nuqtaning yetarli
   

kichik atrofida funksiya chegaralangan bo’ladi.

Isbot Funksiya uzluksizligi ta’rifiga ko’ra bo’lib, undan f(x) funksiyani x⁰ nuqtada chekli limitga ega ekanligi kelib chiqadi. Chekli limitga ega bo’lgan funksiyaning xossalaridan esa, f(x) funksiyani x⁰ nuqtaning yetarli kichik atrofida chegaralanganligini topamiz.

2. 
   Agar f(x) funksiyani x⁰ nuqtada uzluksiz bo’lib, bo’lsa,
   

x⁰ nuqtaning yetarli kichik atrofidagi x nuqtalarda bo’ladi.

Isbot f(x) funksiya x⁰ nuqtada uzluksizligi ta’rifiga ko’ra, olinganda ham shunday topiladiki, barcha nuqtalar uchun

bo’ladi.

Bu yerda (agar bo’lsa, ) deb olsak, fikrimizning tasdig’iga ega bo’lamiz.

Demak, f(x) funksiya x⁰ nuqtada uzluksiz va bo’lsa, x⁰ nuqtaning yetarli kichik atrofidagi x nuqtalarda funksiya qiymatlarining ishorasi f(x⁰) ning ishorasi bilan bir xil bo’lar ekan:

3. 
   Agar f(x) funksiya x⁰ nuqtada uzluksiz bo’lsa, x⁰ nuqtaning yetarli kichik
   

atrofidagi nuqtalar uchun

tengsizlik o’rinli bo’ladi.

Isbot f(x) funksiyaning x⁰ nuqtada uzluksizligiga asosan olinganda ham, ga ko’ra shunday topiladiki, barcha nuqtalar uchun

bo’ladi. Jumladan nuqtalar uchun ham

tengsizlik o’rinli bo’ladi. Keyingi tengsizliklardan esa bo’lishi kelib chiqadi.

3. 
   Ko’p o’zgaruvchili funksiyaning tekis uzluksizgi. Kantor teoremasi.
   

f(x) funksiya to'plamda berilgan bo'lsin.

Ta'rif. Agar son uchun topilsaki, M to'plamning tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy va ( ) nuqtalarida

tengsizlik bajarilsa, f(x) funksiya M to'plamda tekis uzluksiz funksiya deb ataladi.

Funksiyaning tekis uzluksizligi ta'rifidagi son gagina bog'liq bo'ladi. Ravshanki, agar f(x) funksiya to'plamda tekis uzluksiz bo'lsa, u shu to'plamda uzluksiz bo'ladi.

Misol. Ushbu

funksiyaning to'plamda tekis uzluksiz bo’lishi ko'rsatilsin.

sonni olib, unga ko'ra topiladigan sonni deb olsak, u holda

tengsizlikni qanoatlantiruvchi18* nuqtalar uchun

bo'ladi. Demak, berilgan funksiya to'plamda tekis uzluksiz.

Teorema. (Kantor teoremusi). Agar f(x) funksiya chegaralangan yopiq M to'plamda uzluksiz bo'lsa, funksiya shu to'plamda tekis uzluksiz bo'ladi.

Isbot. Teskarisini faraz qilaylik, ya'ni f(x) funksiya chegaralangan yopiq M to'plamda uzluksiz bo'lsinu, ammo tekis uzluksizlik ta'rifidagi shart bajarilmasin. Bu holda biror son va ixtiyoriy son uchun M to'plamda tengsizlikni qanoatlantiruvchi shunday va ( ) nuqtalari topiladiki,

bo'ladi.

Nolga intiluvchi musbat sonlar ketma-ketligi olaylik:

(1)

Farazimizga ko'ra, yuqoridagi son va ixtiyoriy uchun M to'plamda shunday va nuqtalar topiladiki,

va

va

. . . . . .

va

bo'ladi.

Modomiki, M - chegaralangan to'plam va ekan, unda Boltsano-Veyershtrass teoremasiga ko'ra ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin:

(2)

M yopiq to'plam bo'lganligi sababli bo'ladi. Yuqoridagi ketma-ketlikdan ajratilgan qismiy ketma-ketlikning limiti ham a ga teng bo'ladi. Haqiqatdan ham, ushbu

tengsizlikdagi lar uchun (1) va (2) munosabatlarga ko'ra da

bo'lishini e'tiborga olib, da ekanini topamiz.

Shunday qilib, da

.

Xulosa

Men ushbu kurs ishimda ketma-ketliklar, ularning limiti, ko’p o’zgaruvchili funksiyalar va ularning uzluksizligi haqida fikr yuritdim. Sifatli ta‘lim olish uchun ta‘lim vositalarining ahamiyati katta.Xalqimizda ajoyib naql bor ―Ish quroling soz bo‘lsa, mashaqqating oz bo‘lur. Rivojlanib borayotgan texnikalashuv sharoitida, albatta ta‘lim vositalari ham yangilashib borishi tabiiy. Kurs ishida nomlari keltirilgan zamonaviy ta‘lim vositalaridan kelajakda akadamik litsey maktab va oily o‘quv yurtlarida foydalanilsa maqsadga muvofiq bo‘ladi va yaxshi natijalarga erishish mumkin. Ta‘lim maqsadlari, uning mazmuni, o’qitish va ta‘lim berish usullari, nazorat va natijalarni baholashni o’zaro bog’liklikda loyihalash ko’pincha an‘anaviy o’quv jarayonida yetishmaydigan narsadir. Jahon pedagogika fani ilmiy – texnika taraqqiyoti ta‘sirini boshdan kechirib, psixologiya, kibernetika, tizimlar nazariyasi, boshqaruv nazariyasi va boshqa fanlar yutuqlarini birlashtirib, hozirgi davrda faol yangilanish (innovatsiya) jarayonlari bosqichidaturar ekan, inson imkoniyatlarini samarali rivojlantirish amaliyotiga boy mahsul bermoqda. Pedagogik texnologiya usullari dastlab o’qitishning harakatini namunaviy vaziyatdagi belgilangan qoida bo’yicha o’zlashtirish talab etiladigan mahsuldor darajasi uchun ishlab chiqilgan. Mahsuldor ta‘lim har qanday ta‘limning zaruriy tarkibiy qismi hisoblanib, u insoniyat jamg’argan tajribani aniq o’quv fani doirasida o’zlashtirish bilan bog’liq. 1997-yilda qabul qilingan O‘zbekiston Respublikasining―Ta‘lim to‘g‘risidagi qonuni va ― Kadrlar tayyorlash milliy dasturi milliy ta‘lim taraqqiyoti va milliy kadrlar tayyorlash tizimi istiqbollarini belgilovchi xujjat sifatida bu sohadagi ishlarni rivojlantirishda yana bir tarixiy davr boshlanishiga zamin yaratdi. Kadrlar tayyorlash Milliy dasturi asosiy vazifalaridan biri bu ta‘lim jarayonidagi sifat ko‘rsatkichlarini yaxshilash, ya‘ni jahon andozalariga mos, raqobatbardosh, yuqori saviyaga ega bo‘lgan mutaxassislar tayyorlashdir.Ushbu murakkab muammolarni yechimini topib, ularni amalda keng qo‘llash oliy ta‘lim tizimi xodimlari oldiga juda katta vazifalar belgilaydi.

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati:

1. 
   G. M. Fixtengols, “Matematik analiz asoslari” I tom.”O’qituvchi” Toshkent 1970.
   
2. 
   A. Sa’dullayev, “Matematik analiz kursidan misol va masalalar to’plami” 1-qism.”O’zbekiston” 1993.
   
3. 
   T. A. Azlarov, X. Mansurov. “Matematik analiz asoslari”, 1-qism. “O’qituvchi” Toshkent 1986.
   
4. 
   B. P. Demidovich, “Сборник задач и упражненый по маткматическому анализу. Наука 1977.
   

Internet saytlari:

5. 
   www.bilimdon.uz
   
6. 
   uz.wikipedia.org
   
7. 
   www.study.uz
   
8. 
   www.metodist.uz