Kurs ishi Mavzu: Ko’p o’zgaruvchili funksiya va uning uzluksizligi. Bajardi

1.4 Funksiya limiti

Biz X = {x} sonlar to’plamini olaylik. Agar a nuqtaning ixtiyoriy (a - , a + ) atrofidadagi X ning a nuqtadan farqli qiymatlari yotsa, u holda a nuqta bu to’plamning quyuqlanish nuqtasi deyiladi. Bu quyuqlanish nuqtasi X da bo’lishi yoki bo’lmasligi ham mumkin. Masalan, agar X = [a, b] yoki X = (a, b] bo’lsa, u holda ikkala holda ham a nuqta X uchun quyuqlanish nuqtasi bo’ladi, lekin birinchi xolda bu nuqta X da yotadi, ikkinchi holda esa X da yotmaydi. X to’plam uchun a nuqta quyuqlanish nuqtasi deb, X dan a dan farqli va limiti a ga teng bo’lgan

x₁, x₂, x₃, ..., x_n, ... (1)

ketma-ketlikni ajratish, va hatto, cheksiz ko’p usul bilan ajratishi mumkin. Haqiqatan, nolga intiladigan musbat sonlar ketma-ketligini olaylik, a nuqtaning har bitta (a - va a+ ) atrofida (n = 1, 2, 3, ...) X dagi a dan farqli x = x_n nuqtani topamiz; va bo’lganidan:

Bizga a quyuqlanish nuqtasiga ega bo’lgan X sohada f(x) funksiya berilgan bo’lsin. Funksiyaning argumenti X a ga yaqinlashgandagi o’zgarishi diqqatga sazovordir. Agar ixtiyoriy o’zgaruvchi x X dan ajratilgan va a limitga ega bo’lgan har qanday (1) ketma-ketlikning barcha qiymatlarini qabul qilganda, funksiyaning unga mos qiymatlaridan tuzilgan

f(x₁), f(x₂), f(x₃), ...,f(x_n)..... (2)

ketma-ketlik har doim A limitga ega bo’lsa, u holda x argument a ga intilganda (yoki qisqacha a nuqtada) f(x) funksiya A chekli yoki cheksiz limitga ega deyiladi. Bu fakt tubandagicha belgilanadi:

lim f(x) = A

yoki

x → a da f(x) → A (3)

Endi X ={x} to’plamda A ning istalgancha katta qiymatlari joylashgan deylik: u vaqtda +∞ bu to’plamning quyuqlanish nuqtasi deyiladi. Agar +∞ nuqta ning atrofi deb ( , -∞) oraliq tushunilsa, u holda yuqorida aytilgan so’zlarni shunday ifodalash mumkin: +∞ nuqtaning har bir atrofida X to’plamning sonlari joylashgandir.

Agar bu shart bajarilsa, u holda X dan +∞ limitta ega bo’lgan (1) ketma-ketlikni ajratish mumkin. Haqiqatan ham, +∞ ga intiluvchi ixtiyoriy musbat A o’zgaruvchini olib, har bitta (n = 1, 2, 3, ...) uchun X dan x > qiymatni topamiz, bunda, albatta, .

X to’plam uchun +∞ quyuqlanish nuqtasi deb, bu sohada aniqlangan f(x) funksiyani qaraylik. Bu funksiya uchun xuddi yuqoridagidek, faqat a ni +∞ bilan almashtirib, dagi

limit tushunchasini o’rnatish mumkin.

Xuddi shu singari da f(x) funksiyaning limiti tushunchasi ham o’rnatiladi.

Bu yerda faqat oldindan -∞ nuqta X to’plamdan quyuqlashish nuqtasi deb faraz qilish kerak; buning ma’nosi o’z-o’zidan ravshandir.