Kurs ishi ilmiy rahbar Bajardi: “” Fkulteti Mavzu: Cheksiz sohada buziladigan elliptik tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy masalalar

Gipergeometrik funksiyani analitik davom ettirish. (1.7) tenglamaning doirada aniqlangan regulyar yechimi ni o‘zgaruvchining butun kompleks tekisligiga analitik davom ettirish mumkin. funksiyaning analitik davomini ham simvol bilan belgilaymiz va u (1.9) qatorning doiradan tashqariga davom ettirilgan analitik funksiyasining bosh shoxchasini ifodalaydi.

gipergeometrik funksiyani analitik davom ettirishni xususan Eylerning ushbu


, (1.17)
, ,

gipergeometrik integrali yordamida amalga oshirish mumkin.

(1.17) tenglikning chap tomonidagi integral kesimli butun kompleks tekislikda regulyar funksiyani beradi. (1.17) tenglikni isbotlash uchun analitik davom ettirish prinsipiga ko‘ra, uni doira ichida tekshirish yetarlidir. funksiyani ning darajalari bo‘yicha binomial qatorga yoyamiz va bu yoyilmani ga ko‘paytirib, bo‘yicha oraliqda hadma-had integrallaymiz va (1.5) formulani qo‘llab, ushbu:


(1.17)

formula , bo‘lganda ni hisoblashga imkon beradi:

. (1.18)

(1.17) integralda

, , ,

almashtirishni bajarib, ushbu

ya’ni

, (1.19)

formulani hosil qilamiz.
(1.19) formula avtotransformatsiya formulasi deyiladi.

2-§ Xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularga qo’yilgan masalalar
bo’lib -ochiq bog‘lamli soha bo‘lsin. -Evklid fazosi - ortogonal dekart koordinatalar sistemasidagi nuqta- ning koordinatalari. Tartiblangan manfiy bo’lmagan ta butun sonning ketma-ketligi -tartibli mu’lteindeks deyiladi, son mu’lteindeksning ug‘unligi deyiladi. funksiyaning nuqtadagi tartibli hosilasini
_,
Xususiy holda ko‘rinishda belgilashimiz bo‘lganda
, ,
funksiya sohada nuqtaning va , haqiqiy o’zgaruvchining berilgan funksiyasi bo’lib, kamida bitta hosila noldan farqli bo’lsin.
Ushbu
(1)
tenglik noma’lum funksiyaga nisbatan tartibli xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.
(1) tenglamaning o‘ng tomoni esa xususiy hosilali differensial operator deyiladi.
Agar barcha o’zgaruvchilarga nisbatan chiziqli funksiya bo’lsa, (1) tenglama chiziqli differentsial tenglama deyiladi.
Agarda , bo’lganda barcha o‘zgaruvchilarga nisbatan chiziqli funksiya bo’lsa, (1) tenglama kvazichiziqli differentsial tenglama deyiladi.
Misollar:
1)
- bu uchinchi tartibli ikki o’zgaruvchili chiziqli tenglama.
2)
- bu ikkinchi tartibli uch o’zgaruvchili kvazichiziqli tenglama.
3)
- bu uchinchi tartibli ikki o’zgaruvchili chiziqli bo’lmagan tenglama.
sohada aniqlangan funksiya (1) tenglamada ishtirok etuvchi barcha hosilalarri bilan uzluksiz bo’lib, uni ayniyatga aylantirsa, ga (1) tenglamaning regulyar (klassik) echimi deyiladi.
Xususiy hosilali tartibli chiziqli differensial tenglamani ushbu
(2)
ko’rinishda yozib olish mumkun.
Barch lar uchun (2) tenglamaning o’ng tomoni nolga teng bolsa, (2) tenglama bir jinsli, funktsiya nolga teng bo’lmasa, bir jinsli bo’lmagan tenglama deyiladi. Agar va funktsiyalar bir jinsli bo’lmagan (2) tenglamaning echimlari bo’lsa, ravshanki ayirma bir jinsli tenglamaning yechimi bo’ladi.
Agarda , funktsiyalar bir jinsli tenglamaning yechimlari bo’lsa, funktsiya ham, bu yerda haqiqiy o’zgarmaslar, shu tenglamaning yechimi bo’ladi.
Xususiy hosilali ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama
(3)
ko’rinishda yoziladi, bu yerda , , , sohada berilgan haqiqiy funktsiyalardir. (3) tenglamaning barcha , koeffiisientlari nolga teng bo’lgan nuqtalarda tenglama ikkinchi tartibli bo‘lmay qoladi, ya’ni bu nuqtalarda tenglamaning tartibi buziladi. Bundan keyin barcha da

deb hisoblaymiz. (3) tenglamada bo’lganda alohida-alohida , qo’shiluvchilar ishtirok etmay, balki ularning yig’indisi ishtirok etadi. Shu sababli ham umumiyatlika ziyon etkazmay hamma vaqt deb hisoblaymiz.
Eslatib o’tamiz sohada aniqlangan va tartibgacha xususiy hosilalri bilan uzluksiz bo’lgan haqiqiy funksiyalarning to’plamini orqali belgilaymiz.