Kovariatsiya. Kovariatsiya koeffiseinti

3-teorema: Agar tasodifiy miqdorlar uchun mavjud bo’lsa, u holda har qanday o’zgarmaslar uchun
,
tasodifiy miqdorlarning kovariasiyalar mavjud va va larning kovariasion matrisalar va lar tenglik bilan bog’langan, bu yerda esa matrisa transponyerlangani.
Bu teoremadan bog’langan tasodifiy miqdorlar chiziqli kombinasiyasi dispersiyasini hisoblash uchun formulaga ega bo’lamiz.
(1)
Tasodifiy miqdor dispersiyasi manfiy bo’lmagan son bo’lganligi uchun, har qanday lar uchun
Bundan ko’rinadiki, har qanday kovariasion matrisa manfiymas aniqlangan.

1. 
   formuladan , deb olsak, quyidagiga ega bo’lamiz.
   

va
deb olsak,
.
.
Demak,
(2)
Agar va bog’lanmagan bo’lsalar .
(1) formulada ( ) deb olsak, tasodifiy miqdorlar yig’indisi dispersiyasi uchun quyidagi formulaga ega bo’lamiz:
(3)
Agar tasodifiy miqdorlar bog’lanmagan bo’lsalar, kovariasion matrisa

ga teng bo’ladi.
Bu holda (3)
ko’rinishni oladi.
Agar , deb belgilasak kovariatsiya xossalaridan
.
, tasodifiy miqdorlar bog’liqligi sifat xarakteristikasi sifatida korrelyasiya koeffisienti dan foydalaniladi, u
va
normallangan tasodifiy miqdor kovariasiyasiga teng.
.
Demak korrelyasiya koeffisienti
(4).
Bu yerdan
(5)
Bog’lanmagan tasodifiy miqdor , lar uchun , chunki .
Teskari tasdiq o’rinli emas, bog’liq tasodifiy miqdorlarning ham korrelyasiya koeffisienti nolga teng bo’lishi mumkin.
Masalan; Agar , , bo’lsa, va bog’langan, ularning korrelyasiya koeffisienti nolga tengligini ko’rsatamiz.
bo’lgani uchun, ,
Bundan


Demak, .
va tasodifiy miqdorlarning korrelyasiya koeffisienti nolga teng bo’lsa, ular korrelyasion bog’lanmagan deyiladi.