Ko’rsatkichli va logarifmik tenglamalar sistemasini yechish

Ko’rsatkichli va logarifmik tenglamalar sistemasini yechish
Ko‘rsatkichli va logarifmik tenglamalar sistemasini yechishda ham algebraik tenglamalr sistemalarini yechishda qo‘llanilgan ( o‘zgaruvchilarni almashtirish, algebraik qo‘shish, yangi noma‘malum kiritish va h.k.) usullardan foydalanish hamda ba’zi sun’iy usullardan ham mumkin. Bunda birorta usulni sistemani yechishda qo‘llashdan oldin sistema tarkibiga kirgan har bir tenglamani soddaroq ko‘rinishga keltirish lozim.
Misol.

1-misol.

tenglamalar sistemasini yechamiz. u = 64^x , v = 64^y desak, u va v ga nisbatan

tenglamar sistemasini olamiz.

Bu sistema 4 ta yechimga ega:


Ammo u = 64^x, v =64^y bo‘lgani uchun u >0, v > 0 bo‘ladi. Shuning uchun topilgan 4 ta yechimdan dastlabki 2 tasini olamiz. Demak, berilgan sistemani yechish quyidagi 2 ta tenglamalar sitemasini yechishga keltiriladi:

Birinchi sistemani yechib, x₁ = y₁ = ni, ikkinchi sistemani yechib esa x₂ = y₂ = ni topamiz.
Javob:
2-misol
Sistemani yeching
= ekanidan
ni topamiz
Sistemani 1-tenglamasini 3 asosga ko’ra logarifmlaymiz;

ni hosil qilamiz. Uning 1- tenglamasini kvadrat tenglama qilib yechsak ; ni hosil qilamiz.
va
Javob:
3-misol sistemani yeching
Yechish: u= , v= (u>0, v>0) belgilash kiritamiz. U holda tenglama quyidagi ko’rinishga keladi:

(1) tenglamani har ikkala tomonini 2 ga ko’paytirib, (2) tenglamaga qo’shsak, ni olamiz. U>0 v>0 bo’lgani uchun u+v>0, yani bo’ladi. Shunday qilib, (1) va (2) tenglamalar sistemasi quyidagi simmetrik sistemaga teng kuchli bo’ladi:

xarakteristik tenglama tuzamiz. Uning ildizlari
bo’ladi. Bundan esa
bo’ladi. u va v larning ifodalarini o’rniga qo’yib quyidagi sistemalarni hosil qilamiz:
ularni yechamiz:
1).

2)

javob

4-misol.
Tenglamalar sistemasini yechamiz.

log0,5 (y-x) ifodada 2 asosga o‘tamiz:
bu tenglikdan foydalanib, sistemaning birinchi tenglamasidan y ni x orqali ifodalaymiz:
-log₂(y-x)+log₂y=2
log
y=4y-4x
3y=4x

y uchun topilgan ifodani sistemaning ikkinchi tenglamasiga qo‘yib topamiz:
x²+ x²=25
25x²=25 9
x²=9
x_1,2= 3 y_1,2= 4
sistema tenglamalarining aniqlanish sohasidan y-x >0 yoki y >x va y >0 bo‘lishi kelib chiqadi. x va y ning topilgan qiymatlaridan 3 va 4 bu shartlarni bajaradi. Demak, sistema birgina (3; 4) juftdan iborat bo‘lgan yechimga ega.
J;(3;4)

Mustaql yechish uchun misollar

1.
2. j;
3.
4.