Ko’rsatkichli Funksiyalarning grafiklari

e soni va uning hosilasi

Keling ko’rsatkichli funksiyaning hosilasini qaraylik:

Shunda biz quyidagiga ega bo’lamiz:

Xususiy holda funksiya uchun:

Shuni bilishimiz kerakki, hosilani topishda limit x o’zgaruvchiga bog’liq emas ekan, g’(x) hosila mavjud yoki yo’qligini bilishimiz uchun

ko’rinishdagi limitning mavjud yoki mavjud emasligini tekshirib ko’rishimiz kerak ekan.

Savolga oydinlik kiritish uchun h qiymatni 0 ga yaqinlashtirib borib, ifodaning qiymatini hisoblaymiz. Yuqoridagi jadvaldan ko’rinib turibdiki, h ni qanchalik 0 ga yaqinlashtirib borsak, ifoda shunchalik 0,7 ga intiladi. Demak,

Boshqacha aytganda funksiyaning hosilasi, 0,7 o’zgarmas sonning ga ko’paytmasiga teng ekan. Shu kabi, funksiya uchun :

Qayta shuni takrorlaymizki, hosilani topishda limit x ning qiymatiga bog’liq emas. Quyidagi jadvalga qarasak, ifoda h 0 ga yaqinlashganda limitga ega.

Bu holda, yaqinlashuvchi qiymat 1,1 bo’ladi. Shuning uchun

Boshqacha aytganda funksiyaning hosilasi, o’zgarmas sonning ga ko’paytmasiga teng ekan.

Endi yuqoridagi misollarni tahlil qilsak, biz quyidagi tenglikni isbotlaganimiz ma’lum bo’ladi:

Agar bo’lsa, u holda

O’rinli bo’ladi

Ifodani qarasak:

1. 
   a=2 bo’lsa,
   

2. 
   a=3 bo’lsa,
   

Biz yuqoridagi tengliklardan shuni xulosa qilamizki, agar a ning qiymati 2 va 3 orasidan tanlansa,

Bundan a ni topishimiz mumkin:

Ikki tomonni ham h ga ko’paytirib, 1 ni qo’shamiz:

Ikki tomonni ham darajaga oshiramiz:

1. 
   va (2) tengliklar ekvivalent ekanligidan
   

Hamda

Ifodalar ham ekvivalent ekanligi ayon. Demak,

Va

Tengliklar teng kuchli. Shuni xulosa qilib aytishimiz mumkinki,

Tenglikni qanoatlantiruvchi a son mavjud bo’lishi uchun, bizga

tenglik mavjud bo’lishi shart ekan. Oxirgi tenglama biz yuqorida qidirgan sonni beradi. e nomi bilan nomlangan raqam buyuk shved matematigi Leoned Eyler (1707-1783) (“Oiler” talaffuz qilinadi) sharafiga nomlangan.