Konzultace č. 8: Goniometrické funkce Literatura: Matematika pro gymnázia – Goniometrie – kap. – 6 Grafy funkcí sinus a kosinus

Konzultace č. 8: Goniometrické funkce

Literatura: Matematika pro gymnázia – Goniometrie – kap. 2.1. – 2.6
Grafy funkcí sinus a kosinus

Grafem funkce sinus je sinusoida a grafem funkce kosinus je kosinusoida.

Vychází se z jednotkové kružnice:





Př. č. 195

Sestrojte graf funkce y = sin 2x

Tento graf – má periodu 

Položíme si:

x 0 /4 /2 3/4 

y 0 1 0 -1 0

H(f) =  -1; 1

Funkce je lichá.

Př. č. 196

Sestrojte funkci y = sin (x + /4 )

Tento graf má periodu T = 2

x -/4 0 /4 /2 3/4  5/4 3/2 7/4

y 0 1 0 - -1 - 0
V daném případě je funkce posunuta ve směru záporné osy na ose x (nulovou hodnotu má v bodě x = -/4 .)

H(f) =  -1; 1

Funkce není ani lichá ani sudá.
Př. č. 197

y = sin (2x + /3)

Nejprve upravíme argument (abychom mohli určit velikost periody)

y = sin 2(x + /6)

Perioda T = 

Posun na ose x je ve směru záporné osy: x = - /6

H(f) =  -1; 1

Funkce není ani lichá ani sudá

Př. č. 198

y = sin 2(x + /3) - 1

Perioda je opět T = , stejně tak posun na ose x je - /6, navíc: posun na ose y je ve směru záporné osy na hodnotu –1.

H(f) v tomto případě je  -2; -1

Př. č. 199

y = 2 sin 2(x + /3) - 1 Vše je stejné jako v předchozím příkladě, ale amplituda je zde dvojnásobná. To znamená, že H(f) =  -3; 0 

Graf funkce tangens a kotangens

y = tg x =

D(f) = _ - (2k +1) 

H(f) = _
y = cotg x =

D(f) = _- k k  _

H(f) = _
Funkce y = sin x a y = cos x jsou periodické s periodou 2

Funkce y = tg x a y = cotg x jsou periodické s periodou 

Pak podobně jako u funkcí sinus a kosinus platí:

Pro každé x z definičního oboru funkce tangens, respektive kotangens a pro každé k z oboru celých čísel je:

tg (x + k) = tg x a cotg. (x + k) = cotg x

dále platí: tg(x) = -tg x

cotg (x) = - cotg (x)

Z tohoto vztahu vyplývá, že obě dvě funkce jsou liché, tj. grafy funkcí jsou souměrné podle počátku

Sestrojte graf funkce y = tg x pomocí tabulky:

x - - - 0

y * - -1 - 0 1 *
Sestrojte graf funkce y = cotg x pomocí tabulky

x - - - 0

y 0 - -1 - * - 1 0