Конспект лекций по цос

y(n) = {x(n)}.
Важнейший класс дискретных преобразователей – цифровые фильтры – описываются разностными уравнениями (1)
= ,
где a_m, b_k – вещественные или комплексные коэффициенты.
Если a₀ = 1, то выходная последовательность
y(n) = – ⁺ . (2)
Фильтр называется параметрическим, если хотя бы один из коэффициентов a_m, b_k зависит от переменной n.
Если хотя бы один из коэффициентов a_m0  0, то фильтр называется рекурсивным.
Если в (8.9) все коэффициенты a_m0 = 0,
y(n) = _k=0 b_k x(n – k), (3)
то фильтр называется нерекурсивным – в этом случае значения выходной последовательности y(n) в любой момент n определяются лишь значениями входной последовательности в этот же момент и N – 1 «прошлыми» значениями входной последовательности x(n).
2. Структурные схемы цифровых фильтров
Алгоритмы рекурсивных и нерекурсивных фильтров можно реализовать с помощью преобразователей, выполняющих три простейшие операции: алгебраическое сложение, умножение и задержка сигнала (числовой последовательности) на один интервал дискретизации T_K. Задержка числовой последовательности на один интервал соответствует умножению ее z–образа на z ^–1.
При аппаратной реализации операция алгебраического сложения выполняется сумматором, для задержки последовательности на один интервал требуется один элемент памяти – регистр.
Структурные схемы цифровых фильтров могут соответствовать реализации с помощью программируемой логики – микропроцессорной системы (программная реализация).
По передаточным функциям, которые также называются системными, могут быть определены структурные схемы цифровых фильтров. Передаточная функция фильтра H(z) – это соотношение
H(z) = Y(z) / X(z), (4)
где X(z) – z-изображение входной последовательности x(n), а Y(z) – z-изображение выходной последовательности y(n) фильтра при нулевых начальных условиях.
Передаточная характеристика рекурсивного дискретного фильтра – уравнение (8.9)
y(n) = –_m=1 a_m y(n – m) + _k=0 b_k x(n – k),
имеет вид H(z) = _k=0 b_k z ^{– k}/( 1 + _m=0 a_m z ^–m), (5)
где b_k, a_m – постоянные коэффициенты (предполагается a₀ = 1). Соотношение (2) получено в результате z-преобразования функции (8.9) и в соответствии с (8.11).
Передаточная характеристика нерекурсивного дискретного фильтра, описываемого уравнением y(n) = _k=0 b_k x(n – k), имеет вид
H(z) = _k=0 b_k z ^{– k}. (8.13)
Пример 1. Найдем передаточную характеристику фильтра, который описывается разностным уравнением 1-го порядка
y(n) = ay(n – 1) + x(n), где a = const.
Обозначим X(z) – z-изображение входной последовательности x(n), а Y(z) – z-изображение выходной последовательности y(n) фильтра. Тогда при нулевых начальных условиях Y(z) = aY(z)z ^–1 + X(z). Отсюда получим
H(z) = 1/(1 + az^-1).

z ^–1


b₁ Рис.1. К примеру 2.