Конспект лекций по цос

3. Свойства симметрии
Если периодическая последовательность x_p(n) с периодом в N отсчетов действительная, то ее ДПФ X_p(k) удовлет­воряет условиям симметрии:
Re[X_p(k)] = Re[X_p(N – k)], Im[X_p(k)] = –Im[X_p(N – k)],
 X_p(k) =  X_p(N – k) , (5.38)
arg X_p(k) = –arg X_p(N – k).
Аналогичные равенства справедливы и для конечной действитель­ной последовательности x(n), имеющей N-точечное ДПФ X_p(k). Если ввести дополнительное условие симметрии последователь­ности x_p(n), т. е. считать, что x_p(n) = x_p(N – n), то окажется, что X_p(k) может быть только действительной.
Чаще всего приходится иметь дело с действитель­ными последовательностями, поэтому, вычислив одно ДПФ, можно получить ДПФ двух последовательностей, используя свойства симметрии (5.38). Рассмотрим действительные периодические последовательности x_p(n) и y_p(n) с периодами в N отсчетов каждая и N-точечными ДПФ X_p(k) и Y_p(k) соответственно. ДПФ комплексной последовательности
z_p(n) = x_p(n) + j y_p(n)
равно
Z_p(k) = [x_p(n) + j y_p(n)] ;
Z_p(k) = X_p(n) + j Y_p(n). (19)
Выделяя действительную и мнимую части равенства (19), по­лучим
Re[Z_p(k)] = Re[X_p(k)] – Im[Y_p(k)];
Im[Z_p(k)] = Im[X_p(k)] + Re[Y_p(k)].
Действительные части X_p(n) и Y_p(n) симметричны, а мнимые — антисимметричны, поэтому их легко разделить, используя опера­ции сложения и вычитания:
Re[X_p(k)] = {Re[Z_p(k)] + Re[Z_p(k)]}/2;
Im[Y_p(k)] = {Re[Z_p(k)] – Re[Z_p(k)]}/2;
Re[Y_p(k)] = {Im[Z_p(k)] + Im [Z_p(k)]}/2;
Im[X_p(k)] = {Im[Z_p(k)] – Im [Z_p(k)]}/2.
Итак, вычисляя одно N-точечное ДПФ, удается преобразовать сразу две действительные последовательности длиной по N от­счетов. Если эти последовательности еще и симметрич­ные, то число операций, необходимых для получения их ДПФ, можно сократить еще больше.
3. Спектральный анализ в точках z-плоскости

Рис. 9. Фильтр для скользящего спектрального анализа:
блоки с обозначением z^–1 – элементы задержки;
величины, равные степеням z₁, – коэффи­циенты умножителей

Спектральный анализ можно рассматривать как задачу вычисления z-преобразования модифицированного сигнала в некоторой области на z-плоскости. Спектральные составляющие сигнала х(п) можно измерять в любой точке z₁ на z-плоскости

S_n(z₁) = , (20)
где N — число отсчетов, по которым находится оценка спектра.
Во многих приложениях, например, когда спектр сигнала меняется, приходится измерять S_n(z₁) для последователь­ных значений п, т. е. значения S₀(z₁), S₁(z₁), S₂(z₁) и т. д. Такой способ измерений называют скользящим спектральным измерением; оно обеспечивается за счет смещения на один отсчет вперед вре­меннόго окна (содержащего N отсчетов) и повторения измерения. Из формулы (5.40) видно, что скользящее спект­ральное измерение в одной точке z = z₁ эквивалентно преобразованию фильтром с импульсной характеристикой вида
h(n) = , 0  n  N – 1, (21)
По фор­муле (5.40) составляется схема вычисления прямой свертки, обеспечивающая спектральные измерения – рис. 5.9.
По выражениям для двух последовательных спек­тральных измерений S_{n – 1}(z₁) и S_n(z₁), можно получить рекуррентную формулу:
S_n (z₁) = S_{n – 1}(z₁) + x(n) – x(n – N) (22)
– рис.10.

Рис. 10. Рекурентный метод скользящего спектрального анализа

Лекция 6