Конспект лекций по цос

2. Частотные характеристики систем первого порядка
Пример 2. Рассмотрим разностное уравнение системы первого порядка y(n) = x(n) + Кy(n – 1) (4)
с начальным условием y(–1) = 0. Можно установить, что импульсная характеристика системы первого порядка (4.4) равна
h(n) = (5)

Рис.2. Частотные характеристики систем первого порядка (4.4)

Используя формулу (2), найдем частотную характеристику си­стемы первого порядка (4) с импульсной характеристикой (5)

H(e^j) = .
Функцию H(e^j) можно представить в виде
H(e^j) = H(e^j) ,
где H(e^j)= 1 / ; arg H(e^j) =  – arctg . Графики lg|H(e^j)| и argH(e^j) для различных значений K приведены на рис. 2. Функция H(e^j) здесь – характе­ристика фильтра нижних частот. Характеристики H(e^j) и argH(e^j) могут быть получены из геометрических представлений.
3. Частотные характеристики систем второго порядка
Рассмотрим систему второго порядка, разностное уравнение которой имеет вид
y(n) = x(n) + а₁ y(n – 1) + а₂ y(n – 2) (6)
– частный случай уравнения (3.5).
В общем случае уравнение второго порядка содержит также чле­ны вида b₁x(n – 1) и b₂x(n – 2), однако для простоты изложения эти члены опущены. При нулевых начальных усло­виях y(–1) = 0 и y(–2) = 0 нетрудно показать, что, если корни однородного уравнения не совпадают, то импульс­ная характеристика системы может принять одну из двух форм:
h(n) = ₁ + ₂ (I), (7)
где p₁ и p₂ – действительные числа, либо
h(n) = ₁r ⁿ sin(bn + ) (II). (8)
Импульсная характеристика (7) описывает две системы первого порядка.
Выражение (8) описы­вает систему второго порядка, импульсная характеристика кото­рой – затухающая синусоида. Импульсная характери­стика имеет вид (8), когда коэффициенты разностного урав­нения (6) удовлетворяют условию, а₂ < –а₁²/4, из которого следует, что а₂ < 0.



Рис. 3. Частотные характеристики систем второго порядка

Если условие а₂ < –а₁²/4 выполняется, то

r = ; cosb = а₁/ 2 ,  = b, ₁ = 1/ sinb.
Частотную характеристику, соответствующую импульсной ха­рактеристике (4.8), можно записать следующим образом:
H(e^j) = 1 / [1 – 2 r (cosb) e^–j + r²e^–2j.].
Амплитудные (в логарифмическом масштабе) и фазовые характе­ристики системы второго порядка, соответствующие фиксирован­ному значению b = /4 и различным значениям r, приведены на рис. 3 – система обладает резонансными свойствами.