«kompleks tegislikte konform sáwlelendiriw»

II bap. Analitikalıq funkciyalar. Tuwındı argumentiniń hám modulınıń geometriyalıq mánisi. Konform sáwlelendiriw.

2.1 Analitikalıq funkciyalar

1-anıqlama. Eger bir mánisli funkciya oblastdıń barlıq noqatlarında differenciallanıwshı, yaǵnıy tuwındıǵa iye bolsa, ol funkciya sol oblastda analitikalıq" dep ataladı.
2-anıqlama. Eger funkciya , noqatda jáne onıń qandayda bir átirapında da differenciallanıwshı bolsa, ol funkciya sol noqatda analitikalıq dep ataladı.
Eger funkciya tek noqatda tuwındıǵa iye bolıp, biraq onıń átirapında tuwındı bar bolmasa, ol jaǵdayda funkciya noqatda monogen boladı. Demek, funkciyanıń noqatda monogen bolıwınan onıń sol noqatda analitikalıq bolıwı kelip shıqpaydı.
3-anıqlama. Eger bir mánisli funkciya tegisliktiń qaysı noqatlarında analitikalıq bolsa, sol noqatlar funkciyanıń tuwrı (regulyar) noqatları dep ataladı. Funkciya anıqlanıw oblastınıń bazı bir noqatlarında analitikalıq bolmay qalsa, áne sol noqatlar funkciyanıń arnawlı noqatlari dep ataladı.
1-misal. dıń analitikalıq yamasa analitikalıq emesligi tekserilsin.
, (1)
Bulardan kórinedi, Dalamber — Eyler shártleriniń orınlanıwı ushın
bolıwı kerek. Demek, (0, 0) noqatda ǵana differenciallanıwshı, basqa noqatlarda tuwındı joq, yaǵnıy berilgen funkciya analitikalıq emes.
8-mısal, funkciyanıń analitikalıq yamasa analitikalıq emesligi tekseriń.
Kóriw ańsat:
(2)
boladı. Demek funkciya tegisliktiń barlıq noqatlarında analitikalıq boladı.

2.2 Tuwındı argumentiniń hám modulınıń geometriyalıq mánisi

Qandayda bir oblastdıń hár bir noqatında shekli tuwındıǵa iye bolǵan, yaǵnıy sol oblastda analitikalıq bolǵan funkciya berilgen bolsın. oblastǵa tiyisli bir qo'zg'almas noqat alayıq. Berilgen funkciyanıń sol noqatdaǵı tuwındı nolden ózgeshe bolsın, yaǵnıy .
Qoyılatuǵın másele mine sol tuwındınıń geometriyalıq mánisin tekseriwden ibarat esaplanadi. Sol maqsette ózgermes kompleks sandı trigonometrik formada jazıp alamız :
(3)
, (4)
Biz házirshe mine sol F argumentni geometriyalıq tárepden tekserip shıǵamız.
Tuwındı anıqlamasini eske alsaq,
(5)
Bunnan bolsa :
(6)
(7)
Bul jerde arg dep dıń mánislerinen birewin aldıq. (7) teńlikti jazıwda, bólshektıń argumenti alımı argumenti menen bólim argumenti ayırmasına teńliginen paydalandıq.
Endi, funkciya járdemi menen tegisliktegi noqattı ( ) tegislikke sáwlelendirsek sol noqat payda boladı. noqattan qálegen túrde eki: , hám ; sızıq ótkereyik. Olarǵa sáykes hám sızıqlar noqatdan ótedi. sızıq ústinde taǵı bir qálegen noqat alsaq, oǵan sáykes noqat ústinde payda boladı. Kompleks sanlar teoriyasınan bizge belgili, hár bir kompleks sanǵa tegislikte bir vektor sáykes keledi. Sol sebepli biz bul


,
Sanlardı vektorlar dep túsinemiz. Bulardan birinshisi vektor bolıp, noqattan noqatqa qaratılǵan. Ekinshi vektor ese dan noqatqa qaratılǵan bolıp tabıladı. hám lar bolsa sol vektorlardıń uzınlıqları bolıp tabıladı. Sonday-aq, bolsa vektor menen kósheriniń oń tárepi arasındaǵı múyesh bolıp tabıladı. hám vektor menen kósheriniń oń tárepi arasındaǵı múyeshten ibarat esaplanadi.
Eger biz noqattı , sızıq boylap ǵa jaqınlastırsak, vektor sol sızıqqa noqatda ótkerilgen urınbaǵa umtıladı.

3-sızılma
Sonıń menen birge, múyesh múyeshka umtıladı. Ol jaǵdayda noqat sızıq boylap ǵa, vektor noqatdaǵı ga ótkerilgen urınbaǵa umtıladı. Sonıń menen birge múyesh múyeshka umtıladı. Mine sol sebeplerge tiykarlanıp, (7) den
(8)
kelip shıǵadı (1-sızılma).
Eger noqattı sızıq ústinde alıp, noqatqa jaqınlastırsaq, sızıq ústindegi noqat ǵa umtıladı. Ol jaǵdayda joqarıdaǵı oy-pikirlerdi áyne tákirarlasaq, usı
(9)
(9) teńlik payda bolar edi. Eger (8) ge itibar bersek, dı sáwlelendirsek noqatda ǵa ótkerilgen urınba múyeshka burılıp, noqatdaǵı ǵa ótkerilgen urınba ústine túser eken. Basqasha aytqanda, ( ) tegislikte dıń sáwlesi retinde payda bolıp, ol múyeshka burıladı eken.
Tap sol pikirdi (9 ) teńlik ústinde júrgizsek, sáwlesi nıń da múyeshka burilǵanin kóremiz. Demek noqattan ótetuǵın hámme iymek sızıqlardıń sáwlesi ( ) tegislikke birdey múyesh astında burılıp túser eken.
Endi (8) hám (9 ) dıń shep tárepleri óz-ara teń bolǵanı ushın:

yaki ;
, yaǵnıy (10)
Demek, noqattan ótetuǵın hám sızıqlar arasındaǵı múyesh penen olarǵa sáykes hám sızıqlar arasındaǵı múyesh óz-ara teń eken. Biz kósher menen kósheriniń oń jónelislerin birdey etip alǵanımız ushın hám múyeshler muǵdar tárepden de hám jónelis tárepden de bir-birine teń bolıp tabıladı.
Sonday eken, analitikalıq funkciya járdemi menen oblastdı ǵa sáwlelendirsek, ol jaǵdayda qandayda bir noqattan , .... sızıqlardıń hámmesi birdey múyeshke burıladı eken. Sol sebepli de , .... sızıqlar, arasındaǵı múyeshler ózgermey qaladı.