Kompleks sonni geometrik tasvirlash. Kompleks tekislik. Riman sferasi

2 - Ma’ruza.


KOMPLEKS SONNI GEOMETRIK TASVIRLASH. KOMPLEKS TEKISLIK. RIMAN SFERASI.

Ixtiyoriy kompleks sonni olaylik. Bu (x,y) juftlik bilan aniqlansin:

Tekislikda absissasi x ga, ordinatasi esa y ga teng bo’lgan nuqta z kompleks sonning geometrik tasviri deyiladi.

Xususan, (x,0)=x ko’rinishdagi kompleks sonning geometrik tasviri absissalar o’qida joylashgan nuqta bo’ldi. (0,u)=iu ko’rinishdagi kompleks sonning geometrik tasviri esa ordinatalar o’qida joylashgan nuqta bo’ladi.
Absissalar o’qi haqiqiy uk, ordinaalar o’qi esa mavxum uk deb yuritiladi.
Demak, S to’plamdan olingan har bir kompleks songa tekislikda,bu sonni geometrik tasvirlovchi bitta nuqta mos kelar ekan.
Endi tekislikda ixtiyoriy nuqta olaylik. Uning absissasi x, ordinatasi u bo’lsin. Bu sonlardan tuzilgan (x,y) juftlik bitta kompleks sonni aniqlaydi. Olingan nuqtaga shu kompleks sonni mos kuyish bilan tekislikdagi har bir nuqtaga bitta kompleks son mos kelishini aniqlaymiz.
Shunday qilib, S bilan tekislikdagi barcha nuqtalar to’plami orasida o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatildi. Bu esa S to’plamning geometrik tasvirini tekislik deb qarash imkonini beradi. Bunday tekislik kompleks sonlar tekisligi deb ataladi va u ham S kabi belgilanadi.
Kompleks sonni boshqacha ham tasvirlash mumkin. Buning uchun fazoda Dekart koordinatalar sistemasini olib, unda markazi nuqtada, raiusi ga teng bo’lgan ushbu
(9)
sferani qaraymiz. Ravshanki, bu sfera ukni (0,0,0) hamda N (0,0,1) nuqtalarda kesadi. N (0,0,1) nuqtani shimoliy qutb deb ataymiz.x va u o’qlarni mos ravishda va o’qlariga ustma-ust qo’yamiz.

xOu kompleks tekislikdagi nuqta bilan shimoliy N qutbni nur yordamida tutashtiramiz. Natijada nur S sferani qandaydir Z nuqtada kesadi. Biz moslikka ega bo’lamiz.
Shunday qilib, kompleks tekislikdagi barcha nuqtalar to’plami bilan sferaning nuqtalari to’plami o’zaro bir qiymatli moslikda bo’lar ekan.
Kompleks tekislikdagi z nuqta koordinata boshidan uzoqlasha borgan sari uning sferadagi tasviri N nuqtaga yaqinlasha boradi.
Agar kompleks tekislikda nuqta olinsa va uni sferadagi N ga mos keluvchi nuqta deb qaralsa, unda

to’plam bilan S sfera nuqtalaridan iborat to’plam o’zaro bir qiymatli moslikda bo’ladi.

Bu moslik kompleks tekislikdaning stereografik proeksiyasi deyiladi.
Odatda to’plam kengaytirilgan kompleks tekislik, S sirt esa Riman sferasi deb ataladi.Sferadagi nuqta koordinatalari bilan kompleks tekislikdagi mos nuqtalar koordinatalari orasidagi bog’lanishni topaylik.
Ravshanki, N(0,0,1) hamda nuqtalar orqali o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi quyidagicha
(10)
bo’ladi, bunda t=0 da N nuqta, t=1 da z nuqta hosil bo’ladi.
Kompleks tekislikdagi z nuqta koordinatalari ma’lum bo’lganda Z nuqta koordinatalari lar quyidagicha aniqlanadi.
Ma’lumki nuqta ham S sferada yotadi. Shuni e’tiborga olib, larni sfera tenglamasi

dagi larning o’rniga qo’yib topamiz.


Demak,
(11)
bo’ladi.
Agar lar ma’lum bo’lsa x va u lar quyidagicha aniqlanadi: (10) to’g’ri chiziq tenglamasidan

bo’lishini topib, uni (10) ning birinchi ikkita tenglamasidagi t o’rniga qo’yamiz:

bulardan

bo’lishi kelib chiqadi.
Biz S da 2 ta metrika kiritamiz.

1. 
   Oddiy Yevklid metrikasi: nuqtalar orasidagi masofa deyiladi.
   

2) Sferik metrika: uchun

Bu formulani ga yoyish mumkin.