Kompleks sonlar. Ular ustida amallar. Kompleks sonning ko’rsatkichli va trigonometrik shakli

Chiziqli tenglamalar. Chiziqli tenglama bu ikkala tomoni ham birinchi darajali (nomaʼlum) koʻphadlardan iborat tenglamadir. Chiziqli tenglamani quyidagi koʻrinishda ifodalash mumkin: ax + b = 0, bu yerda a — nol boʻlmagan son, b — ozod had.

1-misol.  3x + 2 = 11 tenglamani yeching.

2 ni tenglamaning chap tomonidan o'ngga siljiting, 2 ning oldidagi belgini teskari tomonga o'zgartirganda, biz olamiz

3x = 11 - 2.

Keyin ayirish

3x = 9.

X ni topish uchun mahsulotni ma'lum koeffitsientga bo'lish kerak, ya'ni

x = 9: 3.

Demak, x = 3 qiymati tenglamaning yechimi yoki ildizidir.

Javob: x = 3.

Kvadrat tenglamalar. Kvadrat tenglama koʻp hadli, bir oʻzgaruvchili va ikkinchi darajali tenglamadir. Umumiy koʻrinishi odatda quyidagicha ifodalanadi:

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.\,}

Bu yerda a, b, c — haqiqiy sonlar va a≠0. Agar a=1 boʻlsa, kvadrat tenglama keltirilgan tenglama, agar a≠1 boʻlsa, keltirilmagan tenglama deyiladi. a, b, c sonlari quyidagicha ataladi:

• 
  a — birinchi (bosh) koeffitsiyent;
  
• 
  b — ikkinchi koeffitsiyent;
  
• 
  c — ozod had.
  

Misol. 1) 2x²-10x+12=0 kvadrat tenglamada a=2, b=-10, c=12. D=(-10)²-4∙2∙12=100-96=4.

D>0 demak, tenglama 2 ta yechimga ega: 

Javob: x₁=3, x₂=2.

Ratsional tenglamalar. Ratsional tenglama deb ratsional ifodalardan tuzilgan tenglamaga aytiladi. Agar f(x) va g(x) ratsional ifodalar boʻlsa,

f(x)= g(x)

{\displaystyle f(x)=g(x)}tenglama ratsional tenglama deyiladi. Bunda agar f(x) va g(x) butun ifodalar boʻlsa, tenglama butun tenglama deyiladi. Agar f(x), g(x) ifodalardan hech boʻlmaganda biri kasr ifoda boʻlsa, f(x)=g(x) ratsional tenglama yoki kasr tenglama deyiladi. Chiziqli, kvadrat tenglamalar butun tenglamalardir.

Misol:

(X 2 - 1) (x 2 - 10 x + 13) = 2 x (x 2 - 10 x + 13) tenglamaning echimini toping.

Yechim

Biz ifodani yozuvning o'ng tomonidan chapga qarama -qarshi belgi bilan o'tkazamiz: (x 2 - 1) (x 2 - 10 x + 13) - 2 x (x 2 - 10 x + 13) = 0... Chap tomonni standart shakldagi polinomga aylantirish amaliy emas, chunki bu bizga to'rtinchi darajali algebraik tenglamani beradi: x 4 - 12 x 3 + 32 x 2 - 16 x - 13 = 0... Konvertatsiya qilish qulayligi bunday tenglamani echish bilan bog'liq barcha qiyinchiliklarni oqlamaydi.

Boshqa yo'l bilan borish ancha oson: qavsdan umumiy omilni olib tashlang x 2 - 10 x + 13. Shunday qilib, biz shakl tenglamasiga kelamiz (x 2 - 10 x + 13) (x 2 - 2 x - 1) = 0... Endi biz hosil bo'lgan tenglamani ikkita kvadrat tenglamalar to'plami bilan almashtiramiz x 2 - 10 x + 13 = 0 va x 2 - 2 x - 1 = 0 va ularning ildizlarini diskriminant orqali toping: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Javob: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.