|
3. Свойства инверсии.
Прежде, чем рассмотреть свойства инверсии, устанавливают одну простую лемму, которая играет существенную роль при изучении свойств инверсии.
Лемма. Рассмотрим любые две точки и , и применим к ним преобразование инверсии, получим точки и . Тогда следующие углы равны:
Доказательство:
Докажем, что треугольники и подобны (порядок вершин важен!).
В самом деле, по определению преобразования инверсии имеем:
откуда получаем равенство:
Таким образом, треугольники и имеют общий угол, а две прилежащие к нему стороны пропорциональны, следовательно, эти треугольники подобны, а потому соответствующие углы совпадают.
Следствие из леммы
Если даны любые три точки , причём точка лежит на отрезке , то выполняется:
причём эти углы ориентированы в разные стороны (т.е. если рассматривать эти два угла как ориентированные, то они разного знака).
Рис. 4
Для доказательства заметим, что — это разность двух углов и , к каждому из которых можно применить лемму о равных углах:
При осуществлении последнего перехода мы изменили порядок следования точек, что и означает, что мы изменили ориентацию угла на противоположную.
Свойства инверсии:
Внутренние точки окружности инверсии преобразуются во внешние и наоборот (поэтому говорят также о зеркальном отображении относительно окружности); точки самой окружности инверсии остаются неподвижными, то есть преобразуются сами в себя.
2. Преобразование, обратное для данной инверсии, есть также инверсия, то есть если точка Р переходит при инверсии в точку Р', то одновременно, обратно, точка Р' переходит в точку Р.
3. а) Окружности, не проходящие через O, преобразуются в окружности, не проходящие через O.
б) Окружности, проходящие через O, преобразуются в прямые, не проходящие через O.
в) Прямые, не проходящие через O, преобразуются в окружности, проходящие через O; прямые, проходящие через O, преобразуются сами в себя.
4. Прямая, не проходящая через центр инверсии, преобразуется в окружность, проходящую через центр инверсии, причём касательная к этой окружности в центре инверсии параллельна данной прямой.
5. Прямые, параллельные и не проходящие через центр инверсии, преобразуются в окружности, касающиеся друг друга в центре инверсии и обратно.
6. Инверсия есть конформное преобразование, то есть при инверсии угол между двумя кривыми в точке их пересечения сохраняется.
При этом, если углы рассматривать как ориентированные, то ориентация углов при применении инверсии изменяется на противоположную.
Рис.5
Для доказательства этого рассмотрим две произвольные кривые, пересекающиеся в точке Р и имеющие в ней касательные.
Пусть по первой кривой будет идти точка , по второй — точка (мы их устремим в пределе к ).
Очевидно, что после применения инверсии кривые будут по-прежнему пересекаться (если, конечно, они не проходили через точку , но такой случай мы не рассматриваем), и точкой их пересечения будет .
Учитывая, что точка лежит на прямой, соединяющей и , получаем, что можем применить следствие из леммы о равных углах, из которой мы получаем:
,
где под знаком "минус" мы понимаем то, что углы ориентированы в разных направлениях.
Устремляя точки и к точке , мы в пределе получаем, что это равенство — выражение угла между пересекающимися кривыми, что и требовалось доказать.
7. Как бы ни были расположены в плоскости две произвольные окружности, или окружность и прямая, или две параллельные прямые, всегда можно их преобразовать друг в друга при помощи инверсии, если к инверсии причислить его предельный случай – симметрию относительно прямой.
8. Всякую окружность (или прямую) можно при помощи инверсии преобразовать саму в себя так, чтобы две фиксированные точки этой окружности (или прямой) переходили друг в друга.
9. а) Ортогональные траектории эллиптического пучка окружностей, пересекающихся попарно в точках A и B, образуют гиперболический пучок окружностей, имеющий точки A и B предельными точками и прямую AB линией центров.
б) Ортогональные траектории параболического пучка окружностей образуют также параболический пучок окружностей с тем же центром пучка и с линией центров, перпендикулярной к линии центров данного пучка.
в) Ортогональные траектории гиперболического пучка окружностей с предельными точками A и B образуют эллиптический пучок окружностей, попарно пересекающихся в точках A и B.
Если — обобщённая окружность, то при преобразовании инверсии она сохраняется тогда и только тогда, когда ортогональна окружности , относительно которой производится инверсия ( и считаются различными).
Доказательство этого свойства интересно тем, что оно демонстрирует применение геометрической инверсии для ухода от окружностей и упрощения задачи.
Первым шагом доказательства будет указание того факта, что и имеют как минимум две точки пересечения. В самом деле, преобразование инверсии относительно отображает внутренность окружности в её внешность, и наоборот. Раз после преобразования не изменилась, то значит, она содержит точки как из внутренности, так и из внешности окружности . Отсюда и следует, что точек пересечения две (одна она быть не может — это означает касание двух окружностей, но этого случая, очевидно, быть по условию не может; совпадать окружности также не могут по определению).
Обозначим одну точку пересечения через , другую — через . Рассмотрим произвольную окружность с центром в точке , и выполним преобразование инверсии относительно неё. Заметим, что тогда и окружность , и обобщённая окружность необходимо переходят в пересекающиеся прямые. Учитывая конформность преобразования инверсии, получаем, что и совпадали тогда и только тогда, когда угол между двумя этими пересекающимися прямыми прямой. В самом деле, первое преобразование инверсии, — относительно , — изменяет направление угла между окружностями на противоположное, поэтому если окружность совпадает со своей инверсией, то углы между пересекающимися прямыми с обеих сторон должны совпадать и быть равны .
10. При инверсии плоскость, проходящая через центр инверсии (без центра инверсии), преобразуется в себя.
Do'stlaringiz bilan baham: |
