Китобхонларга ушбу китобнииг биринчи цисмидан маълумки, текисликнинг ? ар к,андай

Китобхонларга ушбу китобнииг
биринчи цисмидан маълумки, текисликнинг ?^ар к,андай
ну^таси узининг иккита координатаси (берилган координата у^ларидаги) билан, яъни иккита ^а^и^ий соннинг
тартибланган системаси билан тула ани^ланади, текисликдаги ^ар ^андай вектор узининг иккита координатаси
билан, яъни яна иккита ^а^ик,ий соннинг тартибланган
системаси билан тула ани^ланади. Шунга ухшаш, уч улчовли фазонинг ^ар ^андай ну^таси узининг учта координатаси билан, фазодаги ^ар кандай вектор узининг учта
координатаси билан тула ани^ланади. Аналитик геометрияиинг узида, шунингдек, механика ва физикада купинча
шундай объектларни урганишга тугри келадики, уларии
тула ани^лаш учун учта ^а^и^ий соннинг берилиши етарли булмайди. Масалаи, уч улчовли фазода шарлар тупламини ^арайлик. Шар тула аншуганган булиши учун унинг
радиуси ва марказининг координаталари берилган булиши,
яъни туртта ^а^иций сондан иборат тартибланган система
берилиши керак. Яна шуниси ,^ам борки, радиус фа^ат
мусбат ^ийматлар кабул килиши лозим. Иккинчи бир масалаии, ани^роги ^аттиц жиемнинг фазодаги турли ^олатларини ^арайлик, фазода каттиц жиемнинг огирлик марказининг координаталари (яъни учта ^ак.Щии сон), огирлик
марказидан утувчи бирорта тайинланган у^нинг йуналиши
(иккита сон— учта йуналтирувчи косинусдан иккитаси) ва
ни^оят, бу у^ атрофида бурилиш бурчаги курсатилган
булса, унинг вазияти тула аникланган булади. Шундай
килиб, фазодаги 1^атти^ жиемнинг' вазияти олтита хакиций
сондан иборат тартибланган система билан тула аншуганади
Бу мисоллар п та ^а^нкпй соннинг барча мумкин булган тартибланган системалари тупламини урганиш максадга мувофиклигини курсатади. Б у туплам унда цушиш
ва сонга купайтириш операциялари киритилгандан кейин
п улчовли вектор фазо номини олади. Шундай килиб, п
улчовли вектор фазо факат алгебраик тузилма булиб, у уч
улчовли фазонинг координаталар бошидан чикувчи векторлар тупламининг баъзи энг содда хоссаларини саклайди.
п та соннинг тартибланган ушбу
а = {аъ а2........a j (6.1)
системаси п улчовли вектор дейилади. a. (г = 1,2, . . . , п)
сонлар а векторнинг компонентлари (ёки координаталари) дейилади.
а ва

1 = {Ьъ Ь2,	, Ьп}	(6.2)
векторларнинг бир хил уринда турган компонентлари устма
уст тушса, яъни агар at = b.,
i = 1,2, . . . , п

*
булса, бу векторлар тенг деб ^исобланади.
(6.1) ва (6.2) векторларнинг йитндиси деб компонентлари берилган векторларнинг мос компонентлари йигиндисидан иборат булган

a -f- Ь = {йу + Ьь а2+ Ь2, ... , ап + Ьп} векторга айтилади. Ушбу "О = {0, 0, . . . , 0} вектор ноль вектор дейилади. (6.1) векторга царама-царши вектор деб а ^ { а1,	(6.3)	* I
(6.4)
Ujii(6.5)

векторни айтамиз.
Равшанки, а + ( — а) = 0. Бундан фойдаланиб, векторларни кУшишга тескари амал—айириш амали мавжуд
эканлигини куриш осон: (6.1) ва (6.2) векторларнинг айирмаси
а— b ■=а + (— Ь)
176
Ь = {ах — Ьь аг — Ь2, .. . , ап — Ьп}. (6.6)
(6.1) векторнинг X сонга купайтмасидеб компонентлари
а векторнинг мос компонентларини X га купайтмасига
тенг булган

X- а = а-Х — {Аа1( Ха2......Аал} векторни айтилади.

(6.7)

Бу таърифдан куйидаги му^им хоссалар келиб чикади
(уларни текшириш у^увчининг узига ^авола ^илинади):
булади ва

X (a rb Ь ) — Ха -+-X Ь. (A-i ± А2) cl = Хга ± Х2а, Хх(Х2 а) = Х2 (Xfi) — (ХуХ^а, 1•а — а -1 = а.	(6.8) (6.9) (6.10) (6.11)
К,уйидйги хоссалар ^ам осонгина исбот ^илиниши мумкин ёки (6.8) — (6.11) хоссалардан натижалар сифатида ^осил
^илиниши мумкин: 0-а — 0, (— 1)-а = — а,	- ч	(6.12) (6.13)

to
II
to
(6.14)
Агар X а = 0 булса, ё X = 0, ёки а — 0.
Векторларни цушиш ва векторни сонга купайтириш
амаллари ани^ланган барча ^а^и^ий компонентли п улчовли векторлар туплами п улчовли вектор фазо дейилади.
Биз п улчовли вектор фазони Rn куринишда белгилаймиз.
п улчовли вектор фазонинг, яъни Rn нинг элементлари п
улчовли векторлардан иборат.
2°. Чизицли фазонинг таърифи. R n туплам берилган
булиб, а, Ь, с, . . . сонлар унинг элементлари булсин. Rn
тупламда ундаги a, b £Rn элементларнинг %ар к^андай
жуфтига Rn дан олинган, бир кийматли аникланган (а +
4-Ь) 6R n элементна мос цуювчи ва а, b ларнинг йигиндиси деб аталган цушиш амали цамда %ациций сонга купайтириш, яъни a £ R n элемент ва \ар цандай %ацш(ий
Я сон учун %а£ Rn купайтма бир цийматли аникланган
б^либ, кУрсатилган амаллар цуйидаги 1-8- хоссаларга эга
булса, Rn туплам элементлари векторлар деб, R n нинг
узи эса чизщли (ёки вектор} фазо дейилади-,'
— —>■ —
1. а 4~b == b 4~ а',
2. (а-\-Ь)-\-с = а -Ь (& 4- с);
3. R да ундаги барча а п п £ R элементлар учун а +
+ 0 = а шартни цаноатлантирадиган a(:Rn элемент мавжуд;
4. R n да %ар цандай а £ Rn элемент учун а + (— а) =
— О шартни цаноатлантирадиган царама-царши (— а) 6^
элемент мавжуд’,
5. 1 •а = а;
6. Я,г(Х2а ) = Х2(\ха) = (ЯД2) а>
7. -f- Х2) а = о
8. X (а + b) = Ха + Xb.
"У
Агар
Ь 4- х = а
тенгламани цаноатлантирадиган х элемент мавжуд булса,
—>- —>- —->• —►- —>■
уни а — b айирма деб цабул цилинади ва х == а — b деб
ёзилади.
1—8- хоссалардан келиб чикадиган баъзи содда тасдицларни исботсиз эслатиб утамиз:
1) ^ар цандай Rn чизикли фазода фацат битта 0
элемент мавжуд;
2) Rn чизикли фазонинг хар кандай элементи учун шу
фазода унга царама-царши булган ягона элемент мавжуд.
—У- —>»
(— 1) а элемент а элемент учун царама-царши булган элемент булади;
3) ^ар кандай а £ Rn элемент учун 0-а = 0 муносабат ^амма пакт бажарилади;
4) Дар цандай.Я .^аки^ий сон ва 0 6 R" элемент учун
X О = 0 муносабат ^амма ваь^т бажарилади; •
178
5) Ка — б тенгликдан ё Я = 0, ёки а = О булнши келиб чи^ади.


3°. Чизикли фазонинг улчови. 6.1-таъриф. Агар Rя
чизикли фазода п т а чизикли эркли вектор мавжуд 6ijлиб, чизикли эркли векторлар сони бундан ортик булмаса, Rn фазо п улчовли фазо дейилади. Агар R n фазода
чексиз к()п чизикли эркли векторлар топиш мумкин булса, у хрлда R n фазо чексиз улчовли фазо дейилади.
Чексиз улчовли фазолар математиканинг махсус булимларида текишрилади. Биз бу ерда чекли улчовли фазолар
билан шугулланамиз.
К,уйида бир неча мисоллар курамиз.