Kirish. Pedagogika nazariyasi va amaliyotida tafakkur. Matematik tafakkur darajalari

Reja:
KIRISH. Pedagogika nazariyasi va amaliyotida tafakkur.

1. 
   Matematik tafakkur darajalari.
   
2. 
   Geometriyani o’qitishda o’quvchilar produktiv tafakkurini shakllantirish.
   
3. 
   Geometrik teoremalarni isbotlash orqali produktiv tafakkurni rivojlantirish.
   
4. 
   Geometrik masalalar yordamida produktiv tafakkurni rivojlantirish.
   

XULOSA
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati

KIRISH
“Matematika hamma aniq fanlarga asos. Bu fanni

yaxshi bilgan bola aqlli, keng tafakkurli bo’lib o’sadi,
istalgan sohada muvaffaqiyatli ishlab ketadi”
SHavkat Mirziyoyev
Respublikamizda so’nggi yillarda ta’lim sohasida juda katta islohotlar amalga oshirilmoqda. Muhtaram Prezidentimizning tashabbuslari bilan yosh mutaxassis kadrlarga juda katta e’tibor berilayotgani, yangi o’quv dargohlari , o’quv labaratoriya xonalari , sport komplekslari barpo etilayotganligi va ularning yangi zamonaviy kompyuterlar va boshqa jihozlar bilan to’liq ta’minlanayotganligi buning yaqqol isbotidir.
Ma’lumki , yangi tahrirda qabul qilingan “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi” va “Ta’lim to’g’risida”gi qonunning amaliy ijrosi yetuk mutaxassis kadrlarni tayyorlashdir. Uzluksiz ta’lim (umumta’lim maktablari, akademik litsey va kasb hunar kollejlari, texnikumlar, oliy o’quv yurtlari ta’limi) jarayonlarini zamonaviy fan va texnika yutuqlaridan foydalangan holda shakllantirish –bu davr talabidir. Shuningdek, olib borilgan oxirgi tadqiqotlarga ko’ra, ta’lim jarayonida yangi innovatsion pedagogik texnalogiyalar va noan’anaviy dars turlaridan foydalanish juda katta imkoniyatlarga, samaradorlikka ega ekanligi ma’lum bo’ldi.
Ma’lumki, barcha fanlarni o’qitishda tafakkur muhim ahamiyat kasb etadi. Shu jumladan geometriya fanida ham tafakkurning o’rni beqiyosdir. Tafakkur inson aqliy faoliyatining yuksak shaklidir. Inson o’z atrofidagi olamda bo’lgan buyumlar va hodisalarni ongli ravishda idrok qiladi. Ongli ravishda eslab qoladi hamda esiga tushiradi va ongli ravishda harakat qiladi. Tafakkur atrofdagi olamning bilish qurolidir va inson amaliy faoliyatining vujudga kelishi uchun shartir. Biron narsa to’g’risida tafakkur qilish jarayonida fikr paydo bo’ladi, bu fikr insonning ongida hukm va tushunchalar shaklini oladi. Tafakkurning bilish faoliyatidagi roli avvalo bizning idrokimiz va fikrlarimizning voqelikka qanchalik muvofiq bo’lishini, bular haqiqat yoki yolg’on ekanini belgilashda o’z ifodasini topadi. Bunday tafakkur qilish eng oddiy ammaliy voqelikda namoyon bo’ladi.
Shuningdek pedagogik tafakkur ham o’quvchilarga ayrim bir bo’layotgan voqelikni tushuntirib berish orqali vujudga keladi. Tafakkur voqelikni umumlashtirib aks ettirishdir. Pedagogika nazariyasi va amaliyotida biz ayrim narsalarni va hodisalarni , masalan, alohida stolni yoki stulni idrok qilamiz, tasavvur qilamiz, ammo umuman stol va stul to’g’risida fikrlashimiz mumkin. Umumlashtirish natijasida bir hukmning o’zida ayni vaqtda yakka bir narsa to’g’risidagina fikr qilib qolmasdan, balki shu narsa bilan birga narsalarning butun bir turkumi to’g’risida ham fikr qilish mumkin. Masalan, “O’zbekistonning hamma fuqarolari qonun oldida tengdirlar”. Bu hukmda ayni bir kishi to’g’risida hukm qilmasdan, balki O’zbekistonning hamma fuqarolari to’g’risida fikr yuritamiz. Narsa yoki hodisalar to’g’risida eng muhim bog’lanish va munosabatlar tafakkur yordami bilan ochiladi. Siz qalamni barmoqlaringiz bilan 20 sm balandda ushlab turibsiz. Barmoqlaringizni ochib yuborsangiz qalam stol ustiga tushadi , uning taqillagani eshitiladi. Biz bu hodisalarni birin-ketin idrok etamiz va ularni xuddi shu tartibda tasavvur qilishimiz mumkin. Lekin biz bunda hodisalar ni ma’lum vaqt ichida birin-ketin sodir bo’lishini idrok qilamiz, holos. Ammo ayni vaqtda tafakkur yordamida bu hodisalarning bir-biriga rivoji inson tafakkuri ta'sirida amalga oshadi. Shu sababdan ham matematikani o'rganish o'rganuvchidan tafakkurni rivojlantirishni talab etadi. Bunda matematik tafakkurning o'ziga xos usul va shakllaridan foydalanishga to'gri keladi. Bu haqda ayniqsa fransuz matematigi Anri Puankare hamda German Veylning matematik tafakkur haqidagi fikrlari, uni yoshlikdan tarbiyalab borish zarurligini tasdiqlaydi.
Tafakkur - inson ongida ask etgan ob'yektlar tomonlar va xossalarini ajratish va ularni yangi bilim olish uchun boshqa ob'yektlar bilan tegishli munosabatlarda qo'yish jarayoniga aytiladi. Umuman olganda, tafakkur ob'yektiv borliqning inson ongida faol aks ettirish jarayonidir.
Tafakkur ham mazmun va shaklga ega. Alohida fikrlar tuzilmasi va ularni maxsus birlashmalariga tafakkurning shakllari deyiladi. Tafakkurning shakllari quyidagilar: tushuncha, hukm va tasdiqlar. Uning haqiqatliligi - ularni to'gri o'rganish, mustahkam va ishonchli sistemani ta'minlaydi.
Tushunchalar ob'yektlaming turli xil sifatlari, belgilari va xususiyatlarini aks ettiradi, bunda birlik va umumiylik xossalari mavjud. Birlik xossalari faqat shu ob'yektga tegishli bo'lib, uni boshqalaridan farqlovchi belgilarini o'z ichiga oladi, umumiy xossalari - ob'yektlarga tegishli muhim xossalarni ifodalash uchun tushunchani boshqa tushunchalardan farqli belgilari va umumiyligini ta'minlash uchun qo'llaniladi.
Tushunchaning xususiyatlari: moddiy dunyoni aks ettiruvchi kategoriya hisoblanadi; bilishda umumlashgan narsa sifatida paydo bo'ladi; tushuncha o'ziga xos inson faoliyatini bildiradi; inson ongida tushuncha shakllanib, u nutqda, yozuvda va belgilarda ifodalanishi bilan xarakterlanadi.
Tushunchaning shakllanish jarayoni bosqichlari: qabul qilish, hissiy bilish, tasavvur, tushunchaning shakllanishi.
Umumlashtirishda bir necha ob'yektlarga tegishli umumiyliklar ajratilib, farqlari qaralmaydi, abstrakt tushunchalar shunday paydo bo'ladi. Bunda ob'yektlarning kattaroq to'plami qaralib, ularga xos umumiy va turg'un xossalari ajratiladi.
Tushuncha mazmun va hajmga ega: mazmun - bu tushunchaning barcha muhim belgilari to'plamidan iborat, hajmi esa - bu tushunchani qo'llash mumkin bo'lgan obyektlar to'plami, demak, mazmun - belgi, xossalar, hajm- obyektlarni ifodalaydi. Parallelogramm tushunchasi mazmuniga kuyidagi belgilar kiradi: qarama-qarshi tomonlar teng, qarama-qarshi burchaklar teng, kesishish nuqtasida diagonallari teng ikkiga bo'linadi. Hajmiga esa parallelogrammlar, romblar, to'gri to'rtburchaklar, kvadratlar kiradi.
Tushunchaning mazmuni va hajmi o'zaro aloqada. Mazmun hajmni belgilaydi, hajm esa mazmunni to'la aniqlaydi. Ular o'zaro teskari bog'lanishda, ya'ni mazmun o'zgarishi bilan hajm o'zgaradi, lekin birining kengayishi ikkinchisininng torayishiga sabab bo'ladi.
Masalan, parallelogramm tushunchasi mazmunini kengaytirsak, ya'ni uning diagonallari o'zaro perpendikulyar belgisini qo'shimcha qilsak,uning hajmi torayadi va unga faqat romb va kvadratlar kiradi. Agar mazmunnni kichraytirsak, ya'ni juft-juft qarama-qarshi tomonlari parallelligini olib tashlasak, u holda uning hajmi kengayib, unga yana trapesiyalar ham kiradi.
Agar ikkkita tushuncha pt va p2 berilgan bo'lsa va ularning hajmlari tegishlilik munosabatida bo'lsa, ya'ni p2 tushuncha kattaroq hajmga ega bo'lsa, u holda p2 tushuncha pt ga nisbatan jinsdosh, pt esa p2 ga nisbatan turdosh deb ataladi. Masalan, romb parallelogrammga turdosh tushuncha, aksincha, parallelogramm rombga jinsdosh tushuncha hisoblanadi.
Tushuncha mazmunini ochishda uning belgilari yordamida ta'riflash muhim ahamiyatga ega. Tushunchaninng ta'rifida har bir belgi zaruriy, barchasi esa yetarli bo'lishi zarur. Masalan, parallelogram - ikki juft qarama - qarshi tomonlari teng va parallel bo'lgan to'rtburchak, kvadrat - tomonlari teng va to'rtta burchagi to'gri bo'lgan parallelogrammdir kabi ta'riflar bunga misol bo'la oladi.Umuman olganda, ixtiyoriy tushunchani kengaytirib nuqtali to'plamlargacha olib borish mumkin. Masalan, kvadrat tushunchasining kengayishini kuzatsak: kvadrat - romb -parallelogramm - ko'pburchak - geometrik shakl - nuqtali to'plam.
Tushunchalarni ta'riflashda quyidagi usullar mavjud:yaqin jinsdosh va turdosh orqali ta'riflash: masalan, kvadrat - teng tomonli to'gri to'rtburchak, romb -diagonallari o'zaro perpendikulyar parallelogramm, genetik usul - tushunchalarning kelib chiqishini ko'rsatish orqali: masalan, aylana ta'rifi, bunga misol bo'la oladi. Induktiv ravishda ta'riflash - rekkurent tengliklar yordami bilan ta'riflash, masalan, arifmetik progressiya ta'rifini p hadi umumiy hadi formulasi orqali berilishi bunga misoldir. Abstrakt ta'riflashda tushunchaga xos belgi va xossalar asosida ta'riflanadi, masalan, natural sonni ekvivalent chekli to'plamlar xarakteri sifatida ta'riflanadi.
Tushuncha hajmi uni sinflash uchun imkoniyat yaratadi, masalan, natural son = tub son + murakkab son + bir,
qavariq ko'pburchak = qavariq ko'pburchak + to'rtburchak emas.
Matematik tushunchalarni shakllantirish quyidagi bosqichlarni o'z ichiga oladi: qabul qlish va sezgi; qabul qilishdan tasavvurga o'tish; tasavvurdan tushunchaga o'tish; tushunchani shakllantirish; tushunchani o'zlashtirish.
Tafakkurni rivojlantirish va o’rgatishning bir necha yo’llari mavjud:

1. 
   Krassvordlar yechish, boshqotirmalarni yechish, rebuslar, detektiv hikoyalarni o’qish.
   
2. 
   Tarix , geografiya, sayohat bo’yicha ta’lim dastularini ko’rish.
   
3. 
   Mantiqiy o’yinlar: shaxmat, shashka, bilimdon o’ynash.
   
4. 
   Siyosatshunoslar ishtirok etadigan turli muhokamalarni tinglash. Ular qanday mulohaza yuritishlarini, qanday dalillar keltirishlarini, mulohazalarini qanday tartibga solishlarini tomosha qiling.
   
5. 
   Ichki dialogni o’tkazish, ma’lum bir fakt haqida o’ylayotganda, siz o’zingizga muayyan sharoitlarda voqealar qanday rivojlanishi mumkinligi haqida savol berasiz. Har doim har qanday savol haqida yaxshilab o’ylab ko’ring, hatto javob yuzaki bo’lib tuyulsa ham.
   

Matematikaning rivojlanish tarixida tafakkurning o’rni beqiyos. Matematik tafakkur o’zining strukturasi bo’yicha ancha murakkab jarayon bo’lib, u o’zi bilan bir necha jarayonni olib boradi. Uning tarkibida bevosita ko’nikma va malaka, umumlashtirish, tafakkur degan tushunchalar bilan bog’liqdirki, inson geometric tasavvuri bevosita shularning ketma-ket sodir bo’lishining integrative yig’indisi asosida sodir bo’ladi. Shuning uchun ham har bir matematik, ayniqsa, geometric tushuncha, qonuniyat va formulani o’quvchi o’z tasavvuriga keltirish va uning tasavvurida kengaytira bilish o’z navbatida undan ilgari birlamchi holatda uchraydigan geometrik obektlar ustida ishlash o’quvchilarning malakalariga , ilmiga uzviy bog’liqdir. Har bir geometrik malaka bevosita ko’nikma asosida sodir bo’lar ekan, u esa bilim asosida yuzaga kelib tafakkurning rivojlanishiga, kengayishiga o’zining ijobiy ta’sirini ko’rsatadi.

Matematik tafakkurning turli tomonlarda , turli kombinatsiyalarda uchrashi mumkin , bunda xatto ulardan yolg`iz bittasining rivojlanishi ham ba`zan ajoyib natijalarga va kashfiyotlarga olib kelishi mumkin . Shuni ham aytish mumkinki , matematikaning turli tadbiqlari ham bu qobiliyatlarning bir xilda rivojlanishini talab qilmaydi : bir sohada hisoblash uchun yaxshi algaritmni topish muhimroq bo`lsa , boshqa sohalar uchun mantiqiy fikrlash muhimroqdir . Shu sababli o`qituvchi o`quvchilarning turli matematik qobiliyatlarini rivojlantirish uchun keng yo`l ochib berishi kerak . Matematik tafakkur murakkab tarkibiy qismlardan iborat. V.A.Krutetskiy matematik tafakkurlarni tuzulishida quyidagi asosiy tarkibiy qismlarni sanab o`tadi :
1. Matematik materiallarni formallashtirib idrok qilish , ya`ni masalada uning matematik formasini tezgina sezib ola bilish ;
2.  Matematik obyektlarni , nisbatlarni va amallarni tez va keng ravishda umumlashtirish ;
3. Amallar sistemasini ixchamlash , ya`ni mulohazani ba`zi oraliq zvenolarini o`z-o`zidan ma`lum faraz qilib tashlab ketish ;
4. To`g`ri fikrlashdan teskarisini fikrlashga tez o`ta bilish imkoniyati ;
5. Matematik masalalarni yechishda fikrlash jarayonining uyg`unligi;
6. Aqliy zo`riqishlarni o`ziga xos tejashga intilish –matematik masalalarni , aniq , ratsional ravishda intilish .
7. Matematik xotira ; Masalan , mantiqiy fikrlash qobiliyati ko`p komponentlarni o`z ichiga oladi : bular analiz qilish , umumlashtirish ,abstraklash va shunga o’xshash qobiliyatlardan iborat.
Matematikaning mantiqiy tafakkur rivojlanishi uchun qanday ahamiyatga ega ekanligi qadim zamonlardanoq ma`lum edi. Tafakkurning matematik usuli haqida, har qanday ixtisosdagi mutaxasislarning uni bilishi kerakligi haqida gapirar ekanmiz , bunda mantiqiy tafakkurning yuqori sifatlari : aniqlik , qisqalik, tartiblanganlik , hatto kichkina bo`lsa ham sohtalikka yo`l qo`ymaslik , to`la dalil keltirish va hokozalar tushuniladi . Ko`p kishilar bu qobiliyatlarning ko`pchiligi til , adabiyot , tarixni o`rganish orqali ham rivojlanadi deyishlari mumkin. Albatta har bir fan o`quvchilarni aqliy kuchini rivojlantirishi kerak. Lekin mantiqiy tafakkurni shakllanishida matematika so`zsiz birinchi darajali ahamiyatga egadir , chunki u soxta da`volar bilan uzviy kelisha olmaydi , soxta fikrlarni haqiqatga o`xshatib ko`rsatishdan ko`ra uni rad qilishni afzal ko`radigan noyob fanlardan biridir . Ana shuning uchun ham matematika o`qituvchisining jamiyat oldidagi mas`uliyati juda kattadir : axir tafakkur usuli ko`p jihatdan o`qitish usuliga bog`liq
Matematik tafakkurni egallashning muhimligi haqida ota-onalar va o`quvchilar bilan suhbat o`tkazganda ko`pincha: - “Matematikaga qobiliyat yo`q” degan javobni eshitasiz. Matematik qobiliyat nima ? Uni rivojlantirish mumkinmi ?
Akademik A.N.Kolmogorov quyidagi matematik qobiliyatlarni ajratib ko`rsatadi.
1. Hisoblash qobiliyati ,bu , murakkab algebraik shakl almashtira bilish bilan xarakterlanadi .
2. Mantiqiy tafakkur qobiliyati – izchil , to`g`ri qismlarga ajratilgan mantiqiy mulohaza san`ati .
3. Fazoviy yoki geometrik illisturatsiya.
Matematik reproduktiv tafakkur. Matematik reproduktiv tafakkur asosida konvergent tafakkur yotadi. Konvergent tafakkur deganda biz masalani faqatbir xil usulda yechilishini tushunamiz. Demak, o’quvchi oldin egallagan bilimlariga, xotirasiga suyangan holda,masalani ishlaydi, ammo o’zi mustaqil ijod qila olmaydi. Reproduktiv tafakkur bu fikrlash turlaridan biri hisoblanadi. Tafakkurni bu formasi haqida chet el psixologlari turli talqinlarda yondashishgan. Chet el psixologiyasi uchun tafakkur xarakteristikasiga bir tomonlama yondashish juda odatiydir: u faqatgina reproduktiv yoki produktiv jarayon sifatida keladi. Tafakkurni idealistik nuqtai nazardan tasvirlab ular uning mazmunini o’xshash bo’lmagan elementlardan chalg’ish , o’xshash elementlarni komplekslarga birlashtirishga, ularni qayta kombinatsiyalashga, va uning natijasida umuman olganda hech qanday yangi narsa paydo bo’lmaslikka olib keladi. Demak reproduktiv tafakkur natijasida matematik masalalar yechish jarayonida yangi usul, yo’llardan foydalanib emas oldingi egallangan bilimlar asosida ishlash nazarda tutiladi. Bunda o’quvchi misol va masalalarga mustaqil, erkin, ijodkorlik bilan yondashmasdan oldin o’zlashtirilgan bilimlarga , ishlab o’tilgan masalalarga tayangan holda ishlaydilar.
Hozirgi kunda reproduktiv yondashuv o’z aksini bixeviorizm nazariyasida topdi. (A. Veys, E. Gazri, Z. Leb, B. Sikenner, E. Taredayk va boshqalar). Bu nazariya psixikani o’rganishda aniq metodlarni ishlab chiqishga qaratilganligi bilan, psixik hodisalarni tahlilida obektiv yondashuvni, olimlarni e’tiborini tortdi, biroq tahlil o’zini bexivioristlar mexanik materealizm nuqtai nazar tomonidan bajarganlar.
Biz tafakkurning bu formasini ham salbiy deb ayta olmaymiz, reproduktiv tafakkur natijasida o’quvchi birxil yo’nalishdagi, bir usulda yechimini topadigan, ishlash yo’li bir-biriga yaqin bo’lgan masala va misollarni topadilar va bu masalalarni bir-biriga bog’liqligini topgan holda yechimini topadilar. Bu jarayonni davom ettirib boorish natijasida esa o’quvchida ko’nikma va malaka hosil bo’ladi, ishlash, fikrlash tezligi shakllanadi va shuning asosida bir xillik masalalardan chetlashib boshqa turdagi masalalarga ham tadbiq etishga o’rganadilar.
Tafakkurning reproduktiv nazariyalarida yangi narsa asosan o’tmishdagi tajribalardan ega bo’lingan elementlar o’xshashligi masala , talablari va sub’ektiv ayniy bo’lgan bilimlar elementlari orasidagi bevosita bog’liqlik aktuallashtirish asosidagi murakkablashtirish yoki qayta kombinatsiyalash natijasi sifatida keladi. Masala yechilishining o’zi yo tasodifdan topilgan to’g’ri yechimni keyinchalik mustahkamlash bilan bo’lgan mexanik sinov va xatolar asosida, yo oldin (ilgari) shakllantirilgan operatsiyalar (amallar) aniq tizimining aktuallanishi asosida kechadi
Matematik tafakkurni rivojlantirishda mantiq muhim ahamiyat kasb etadi. Mantiq so’zi, birinchidan, obektiv olam qonuniyatlarini ( masalan, “ob’ektiv mantiq”, “narsalar mantig’I” kabi iboralara ), ikkinchidan, tafakkurning mavjud bo’lish shakklari va taraqqiyotini, shu jumladan, fikrlar o’rtasidagi aloqadorligini xarakterlaydigan qonun qoidalar yig’indisini (masalan “subektiv mantiq” iborasida ), va nihoyat, uchinchidan , tafakkur shakllari va qonunlarini o’rganuvchi fanni ifoda etishda ishlatiladi. O’quvchilrni matematik mantiq elementlari bilan tanishtirish matematika fanini chuqur va ongli o’zlashtirishga , to’ri mantiqiy xulosa chiqara olishga , og’zaki va yozma nutqni mantiqiy to’g’ri , mazmunli va ziddiyatsiz bayon qilishga o’rgatadi.
“Mantiq –tafakkurning grammatikasidir” –degan edi K.D. Ushinskiy.

Matematik

Umumiy o’rta ta’lim maktablari matematika dasturidan ''Geometriya'' kursi mustahkam o’rin olgan. Shu tufayli akademik litsey matematika kursida faqat tekislikdagi geometrik figuralar orasidagi munosabatlargina emas, balki figuralarning o’zaro kombinatsiyasi tushunchalari bilan tanishtiriladi.

To’g’ri, geometrik figuralarning kombinatsiyasi juda murakkab, lekin hozirgi kunda tekislikdagi geometrik obrazlarni o’rganish, optimal yechimlarni topish davri kechayotgan bir vaqtda o’quvchilarni har tomonlama tarbiyalashda, ya’ni ularning matematik tafakkurini shakllantirish va rivojlantirishda geometriya masalalaridan keng foydalanish muhim ahamiyatga ega. SHuning uchun ham geometrik figuralarning o’zaro kombinatsiyasini o’rganish bu masalalarni hal qilishda ijobiy yordam beradi. Quyida geometriya o’qitish jarayonida figuralarning o’zaro kombinatsiyalarini o’quvchilarning Amaliy ko’nikmalarini shakllantirish va rivojlantirish haqida fikr bildiriladi.
Geometriya fani boshqa fanlar qatori asosiy fan sifatida o’qitiladi. Bu ijobiy natijaga olib kelib, o’qitilish jarayoni o’zining strukturasiga ko’ra, juda muhim bo’lib, bunda o’quvchilar geometriyani har bir tushunchalarini, qonuniyatlarini, formulasini, ta’rif, teorema, aksiomasini o’z in’ikosida idrok qilishga harakat qiladilar, tafakkuriga olishga, singdirishga va uni aqliy bilishga aylantirishga intiladilar. SHuning uchun ham insonning bilish faoliyati voqelikni, narsa va hodisalarni sezish va idrok qilishdan boshlanadi, so’ngra asta-sekin tafakkurga, fikr yuritishni aqliy yo’l bilan aks ettirishdan hosil bo’ladi. Tafakkur sezgi, idrok, tasavvur yordamida atrof-muhit bilan bevosita bog’lanadi, so’ngra voqelikdagi narsa va hodisalarni, ularning belgi va sifatlarini miyada shakllanishidir. 
Geometriya o’qitish jarayonida tafakkurni rivojlanishi o’zining strukturasiga ko’ra juda muhimdir, chunki oddiy bir uchburchakni tafakkurga keltirish uchun avval uchburchak haqidagi ta’rifni beramiz, so’ngra uchburchak elementlari [balandlik, bissektrisa, mediana] ni o’rganishga olib kelamiz. Bunday ketma-ketlik bevosita o’quvchida fikrlash jarayonini, sezish, idrok etish, figuralarni solishtirish, taqqoslash kabi xususiyatlarini tarbiyalaydi. Geometrik figura tushunchalari, ularning o’zaro bog’lanishlari va munosabatlarini aks ettiruvchi qonun va qoidalar bilan birgalikda bevosita idrok qilinadigan geometrik figuralar, formulalar, teoremalar, aksiomalar, amaliy faoliyat yoki uning obrazlari va boshqalar tafakkurni mazmunini ifodalaydi. Shuning uchun ham har bir u yoki bu geometrik figurani hal qilish jarayonida ma’lum geometrik figura formulalarni, teorema va aksiomalarni idrok qiladi va undan unumli foydalanib qo’yilayotgan muammoni hal qilishga harakat qiladi.
Masalan, agar uchburchak tomonlari 3, 4, 5 sm lar bo’lsa, uning yuzasini topish uchun birinchi navbatdagi uchburchakning perimetrini topamiz, so’ngra esa Geron formulasidan foydalanib topiladi.
Berilgan: a=3
b=4
c=5. S=?
P/2=(3+4+5)/2=6
S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6(6-3)(6-4)(6-5))=6

Bu masaladan ko’rinib turibdiki, har bir o’quvchi masalani tarkibida berilganlarini idrok qilib tasavvuriga, mushohada qilish yordamida uchburchak perimetri va yuzasini topish formulasiga suyangan holda uchburchakning yuzasini topishga erishishini tafakkurga sig’dirishga harakat qiladi.
Geometriya o’qitish jarayonida juda ko’p tushunchalarning o’zaro bog’lanishi natijasida yangi-yangi qonuniyatlar, formulalar, aksiomalar va teoremalar keltirib chiqariladi. Bu hosil qilingan natijalarni kishi ongining in’ikosiga ta’siri undagi tafakkurni turli xilda rivojlantirishi yoki shakllanishiga o’z ta’sirini ko’rsatadi. Bu esa o’z navbatida tafakkur turlarini u yoki bu qismini shakllanishiga, rivojlanishiga olib keladi.
Mazmun jihatidan bu fan [geometriya] ning o’zi tushunchalar aniqligiga, mantiqiy to’g’ri xulosalar chiqarishga, to’g’ri so’zlikka, fikrini aniq va qisqa bayon qilishga undaydi. Ko’rinib turibdiki, bu endi ahloq bilan uzviy bog’liq. Shuningdek, geometriyani o’rganish o’quvchilarda nutq madaniyatini ham shakllantiradi.
O’qituvchining ma’ruzasi qanday yaxshi bo’lmasin faqat shu ma’ruza bilan cheklanish mumkin emas. O’quvchilarning geometrik tafakkurlarini rivojlantirish vazifasi ularni tadqiqot va aqliy mehnat metodlarining hammasi bilan tanishtirishni talab qiladi. Shuning uchun o’quvchilarning geometrik bilimlarining manbai faqat ma’ruzachining nutqi emas, balki kitobning matni, ma’lum geometrik qonuniyatlarini kuzatish, kelib chiqqan muammo ustida mustaqil fikr, nazariyaning mumkin bo’lgan amaliy tatbiqlarini qidirishdan iborat bo’lishi mumkin.
Amaliy ko’nikmaning shakllanishida geometriya so’zsiz birinchi darajali ahamiyatga egadir, chunki soxta fikrlarni haqiqatga o’xshatib ko’rsatishdan ko’ra rad qilishni afzal ko’radigan fanlardan biridir. 
Ma’lumki, inson shaxs sifatlarining o’zgarishi, shakllanishi, rivojlanishi bevosita
o’qitish va o’rgatish jarayonining samaradorligi bilan bog’liq.Har bir metodik yangilik ham inson shaxsi sifatlarini rivojlantiradi.
Matematik obektlarni, formulalarni,qonuniyatlarni o’quvchilar tomonidan tasvvurga keltirish o’ziga xos ta’lim ketma-ket bajarilishi zarur bo’lgan jarayonlarini yuzaga keltiradiki, bu jarayonlar o’z navbatida amallar bajarish orqali yuzaga keladi.
O’quvchilar matematik obektlar,geometrik figuralar, diagrammalar, faktlar, qonuniyatlar va formulalarni tasavvurga keltirishdan avval ular to’g’risida tafakkur qiladilar, shu bilan birga o’xshash manbalarga tayangan holda fantaziyaga erishadilar. Buning uchun ular ma’lum geometrik ob’ektlarni ko’rish,sezish, esga olish, tafakkur qilish kabi ketma-ketlikni bajargan holdagina u yoki bu geometrik obektni tasavvurga keltirilishi ancha yengil kechadi.shuning uchun ham psixologik jihatidan bu jarayonni o’ziga xosligi muhim.
Har bir tafakkurning garchi u falsafiy asosga ega bu bo’lgan fantaziya bo’ladimi, qanday bo’lishidan qat’iy nazar ularning asosida hech bo’lmaganda kichik bo’lsaham tasvvur mavjud. Bu esa shu tafakkurning yuzaga kelishi yoki rivojlanishiga olib keladiki, natijada Arestotelning fikricha katta ilimning ochilishiga sababchi bo’lishi mumkin.
Agar biz geometrik obektlar ustida fikrni qo’yadigan bo’lsak, o’quvchiga nuqta,tekislik haqida tushincha beramiz. O’quvchi bu tushunchani ko’rish orqali sezib tafakkuriga o’tkazadi so’ngra nuqta,vergul,to’g’ri chiziqning o’zoro munosabatini o’rganib tafakkurini boyitsa shu bilan birga mushohadalangan ma’lumotlarga tayansa ularda soda tasavvurlar paydo bo’ladi. Bu esa o’z navbatida o’quvchilarni yangi, yanada murakkabroq obektlarni o’rganishga tasvvuriga keltirishiga imkon beradi. O’quvchilarni tasavvurga berilayotgan obektlar garchand to’liq atroflicha ishlanga bo’lishiga qaramasdan boshlng’ich holatlarda o’quvchilar uni to’liq tasavvuriga keltira olmaydi. Bynday holda esa esda saqlash yetarli darajada ishlamasligini uni to’liq tasavvurga keltira olmaydi. Bunday holda esda saqlash yetarli darajada ishlamasligi uni to’liq tafakkurga olib chiqish imkonini bermaydi. Bu esa o’z navbatida tasvvurning to’liq bekamu-ko’st bo’lishini ta’minlay olmaydi.
Shuning uchun ham tasavvur bu inson ilgari o’z ongida in’ikos etmagan narsa va hodisalarning obrazlarini xayolida, ongida, in’ikosida gavdalanishiga aytiladi. Bu tarifdan ko’rinib turibdiki, har bir tasavvur qilinayotgan obrazlar to’gridan- to’g‘ri inson ongida gavdalanavermaydi. Balki uning qismlari yoki shu obrazga olib keluvchi obrazchalar mavjuddirkim ular oxirgi natijada tafakkurda shunday bir yaxlit obrazni yuzaga kelishida imkon yaratib beradi.
Geometrik shakllarni o'rganish nuqta va chiziq bilan tanishish va ularning o'zaro joylashishini tekshirishdan boshlanadi. Har xil turdagi chiziqlarni taqqoslash turli xil ko'pburchaklar paydo bo'lishiga, keyin esa - fazoviy shakllar bilan tanishishga olib keladi. Geometrik kattaliklar (uzunlik, maydon, hajm) ob'ektlarni solishtirish va turli o'lchovlarni qo'llash asosida birlashtirilgan algoritm asosida o'rganiladi. Har xil geometrik shakllar va fazoviy figuralarni supurish, bu figuralarning maydonlari va hajmlarini topish qobiliyati turli xil hunarmandchilikni texnologiya darslarida, shuningdek hayotda bajarishda zarurdir.
Rivojlanish fazoviy tasavvur boshlang'ich maktabda tegishli, chunki bolaning fazoviy tasavvurlari va fazoviy tasavvurlari uning fazoviy tafakkurini shakllantirishning zaruriy shartlari bo'lib, nutqning majburiy ishtiroki bilan idrok (sezgilarga asoslangan), diqqat, xotira, tasavvur kabi turli xil aqliy jarayonlar bilan ta'minlanadi. Bunda yetakchi rolni tafakkurning mantiqiy usullari: taqqoslash, tahlil qilish, sintez qilish, tasniflash, umumlashtirish, abstraksiya qilishdir.
Boshlang'ich maktab o'quvchilarida fazoviy tasavvurlar va tasavvurlarni shakllantirish muammosiga bag'ishlangan ko'plab uslubiy tadqiqotlarda geometriya elementlarini o'qitishning mazmunli va protsessual jihatlari ko'rib chiqiladi.Biroq, olib borilgan tadqiqotlar asosan ikki o'lchovli fazoviy tasavvurlarni shakllantirishga qaratilgan. Fazoviy tasvirlar tuzilishidan asosiy e'tibor shakl va o'lcham haqidagi g'oyalarni shakllantirishga qaratiladi. Ob'ektlarning fazoviy joylashuvi, ma'lum munosabatlarni o'zlashtirish va haqiqiy atrofdagi kosmosda harakatni yo'naltirish asosida fazoviy tasavvurni rivojlantirish bilan bog'liq boshqa muhim yo'nalishlarga etarlicha e'tibor berilmaydi. Inson ishlaydigan tasvirlar to'g'ridan-to'g'ri idrok etilgan narsalarni takrorlash bilan cheklanmaydi. Shaxs oldida o'zi bevosita idrok etmagan narsasi ham, umuman mavjud bo'lmagan narsasi ham, haqiqatda bunday aniq shaklda bo'lishi mumkin bo'lmagan narsa ham paydo bo'lishi mumkin. Shunday qilib, tasvirlarda sodir bo'ladigan har bir jarayonni takrorlash jarayoni deb tushunish mumkin emas. Darhaqiqat, har bir tasvir ma'lum darajada reproduktsiyadir - hatto u juda uzoqda, vositachi, o'zgartirilgan bo'lsa ham - va realning o'zgarishi. Har doim qandaydir birlikda, ayni paytda, qarama-qarshilikda berilgan bu ikki takror ishlab chiqarish va o'zgartirish tendentsiyalari bir-biridan ajralib turadi. Va agar takror ishlab chiqarish xotiraning asosiy xususiyati bo'lsa, transformatsiya tasavvurning asosiy xususiyatiga aylanadi. R.S. Nemovaning tasavvuri inson psixikasining o'ziga xos shakli bo'lib, u boshqalardan ajralib turadi. aqliy jarayonlar va shu bilan birga idrok, fikrlash va xotira o'rtasidagi oraliq pozitsiyani egallaydi.
Tasavvur ob'ektiv dunyoni bilish jarayonini ancha kengaytiradi va chuqurlashtiradi. Shunday qilib, masalan, G.I. Salamatova ta’kidlaydiki, matematika, fizika, kimyo va boshqa fanlarni o‘rganishda tasavvur o‘quvchilarda mavhum tushunchalarni jonlantirishga, formulalarni aniq mazmun bilan to‘ldirishga yordam beradi. Va ko'pincha ilmiy tushunchalarni o'zlashtirish, hal qilishda qiyinchiliklar ta'lim maqsadlari o'quvchilarda tegishli tasvirlarning yo'qligi bilan bog'liq. Shunday qilib, masalan, geometrik muammoning chizmasini noto'g'ri ko'rsatish uni umuman yechilmaydigan qilib qo'yadi. U yoki bu masalani hal qilish uchun nafaqat mazmunni anglash, balki adekvat obraz yaratish ham zarur. Va bu tasavvurning funktsiyasidir.
Kichik yoshdagi talabalar tomonidan geometriya asoslarini o'rganishda faqat to'g'ridan-to'g'ri tafakkurga tayanish etarli emas. Harakat qobiliyatlari va u bilan bog'liq bo'lgan mushak hissi aql va shaxs psixikasining rivojlanishida asosiy rol o'ynaydi, geometriyani vizual-amaliy o'rgatish ob'ekt modellari bilan ishlash, geometrik faktlarni ochish imkoniyatini berishi kerak. Bu shuni anglatadiki, har qanday yangi bilim bolaning o'zi faol harakatlari jarayonida olinishi kerak va faqat boshqalarning harakatlarini kuzatish bilan cheklanmaydi.
Shu asosda tashkil etilgan kognitiv faoliyat o'quv predmetini qo'yilgan maqsadga muvofiq ravishda amaliy ravishda o'zgartirishga imkon beradi. Shunday qilib, geometrik tasvirni shakllantirishda taktil va vizual analizatorlarning faoliyati juda muhimdir. Taktil analizatorlar ham fazo va jismlarning mexanik xossalari haqidagi bilimlarning eng muhim manbalaridan biridir.Geometrik material boshlang'ich maktab o'quvchilarining fazoviy tasavvurlarini rivojlantirish vositasi sifatida"Geometrik shakllar" mavzusi zamonaviy dasturlarda muhim o'rin tutadi va boshlang'ich ta'limning butun davri davomida o'rganiladi. Qoida tariqasida, mavzuga oid individual savollar alohida bloklarga ajratilmaydi, balki asosiy - arifmetik - materialni o'rganish bilan bog'liq. Alohida-alohida, sonlar qatorining (son (koordinata) nuri) maydoni, burchaklari, fazoviy figuralarning hajmi va geometrik modellarini o'lchash ko'rsatilgan.Keling, geometrik materialni o'rganishning asosiy vazifalarini sanab o'tamiz:
- yilda olingan geometrik tasvirlarni aniqlashtirish va umumlashtirish maktabgacha yosh;
- maktab o'quvchilarining geometrik tasavvurlarini boyitish, ba'zi bir asosiy geometrik tushunchalarni shakllantirish (figura, planar va fazoviy figuralar, planar va fazoviy figuralarning asosiy turlari, ularning bir-biri bilan ierarxik aloqasi va boshqalar);
- maktab o'quvchilarining planar va fazoviy tasavvurlarini rivojlantirish;
- maktabning asosiy bo'g'inida geometriyadan tizimli kursni o'rganishga tayyorgarlik.
Zamonaviy boshlang'ich maktabda geometrik materialni o'rganish arifmetika kursi bilan birga, asosan amaliy maqsadlarni ko'zlaydi. Shunday qilib, figuralarning xususiyatlarini ko'rib chiqish, dastlabki geometrik tasvirlarni shakllantirish, asosan, o'quvchilar tomonidan hal qilish bilan bog'liq amaliy ko'nikma va ko'nikmalarni egallashga qaratilgan. Amaliy vazifalar hisoblash uchun (uzunlik yoki maydon).
O'qishning birinchi yillaridan boshlab geometriya maktab o'quvchilarining kognitiv va intellektual faolligiga hissa qo'shadi va ta'limning yangi sifatiga erishish yo'lidir.Matematik kabi Mavzu, toʻgʻrirogʻi uning geometrik komponenti tafakkurning obrazli komponentlarini rivojlantirish uchun keng imkoniyatlarga ega. Geometrik fazoda ishlash shakllari, fazodagi joylashuvi, elementlarning nisbiy joylashuvi, ya'ni fazoviy tasvirlar ajratib ko'rsatilgan tasvirlarni yaratish va ishlashni talab qiladi.
Geometriyani o'rganish asosan kichik yoshdagi maktab o'quvchilari uchun organik bo'lgan hissiy-majoziy kognitiv strategiyalarni talab qiladi va shuning uchun bolalarning to'liq intellektual, hissiy va estetik rivojlanishi uchun juda muhimdir. Birinchi sinfda geometrik materialni o‘rganish bolalarning fazo haqidagi bilimlarini chuqurlashtirishdan boshlanadi. Etti yoshli o'quvchilar shakl, hajm, ob'ektlar va geometrik shakllarning ayrim o'ziga xos xususiyatlarini sezish qobiliyatiga ega (to'p silliq, yumaloq, oson aylana, ushlash oson; siz qal'a qurishingiz mumkin) kublardan - ular barqaror va hokazo). Talabalarning grafik faoliyatga bo'lgan qiziqishi geometrik shakl bilan ishlashning birinchi tajribasini shakllantirdi.
Geometriyani o’qitish jarayonida tafakkur formulalarini sistemali ishlatamiz va ular yordamida masalalar yechamiz, teoremalarni isbot qilamiz.
Masalan, bevosita masalani yechish jarayonida analiz va sintezdan unumli foydalanib, masala shartidagi noma’lum va ma’lum komponentlar orasidagi bog’lanish qonuniyatlarini aniqlaymiz. Shu asosda masalaning yechimini topish rejasini tuzish bilan birgalikda uni modelini yuzaga keltiramiz. Bu jarayon o’z navbatida o’quvchilarning amaliy ko’nikmalarini shakllanishiga ijobiy ta’sir qilish bilan birgalikda ular tafakkurining rivojlanishiga ta’sir ko’rsatadi.
Tafakkur o’ziga xos shakllarda: analizda, sintezda va taqqoslashda, abstraktlash, umumlashtirish va konkretlashtirishda: induktsiya, deduktsiya va analogiyada; bog’lanish va munosabatlarni topishda; tushunchalarni shakllanishi; ularni klassifikatsiyalash va sistemalashtirishda namoyon bo’ladi va rivojlanadi. O’quvchilarning tafakkuri turli isbotlashlar o’tkazish, turli hodisalarni tushuntirish yo’llarini qidirishda, andazaviy bo’lmagan ya’ni, fikr jarayonida talab qiladigan masalalarni yechishga olib keladi.
Mazmun jihatidan bu fan [geometriya] ning o’zi tushunchalar aniqligiga, mantiqiy to’g’ri xulosalar chiqarishga, to’g’ri so’zlikka, fikrini aniq va qisqa bayon qilishga undaydi. Ko’rinib turibdiki, bu endi ahloq bilan uzviy bog’liq. Shuningdek, geometriyani o’rganish o’quvchilarda nutq madaniyatini ham shakllantiradi.
O’qituvchining ma’ruzasi qanday yaxshi bo’lmasin faqat shu ma’ruza bilan cheklanish mumkin emas. O’quvchilarning geometrik tafakkurlarini rivojlantirish vazifasi ularni tadqiqot va aqliy mehnat metodlarining hammasi bilan tanishtirishni talab qiladi. Shuning uchun o’quvchilarning geometrik bilimlarining manbai faqat ma’ruzachining nutqi emas, balki kitobning matni, ma’lum geometrik qonuniyatlarini kuzatish, kelib chiqqan muammo ustida mustaqil fikr, nazariyaning mumkin bo’lgan amaliy tatbiqlarini qidirishdan iborat bo’lishi mumkin.
Amaliy ko’nikmaning shakllanishida geometriya so’zsiz birinchi darajali ahamiyatga egadir, chunki soxta fikrlarni haqiqatga o’xshatib ko’rsatishdan ko’ra rad qilishni afzal ko’radigan fanlardan biridir. 
Tekislikdagi geometrik figuralarni kombinatsiyalash o’quvchilarning amaliy ko’nikmalarini shakllanishida tutgan o’rni
Ma’lumki, hozirgi litseylarning asosiy vazifasi o’quvchilarni fanning yangi yutuqlari bilan tanishtirib borish, ilmiy dunyoqarashini shakllantirish va mustaqil mehnat faoliyatiga tayyorlashdan iborat. Geometriya fani qadimgi fanlardan biri bo’lib, u haqidagi ma’lumotlar uzoq vaqtlar davomida to’plangan va sistemaga keltirilgan. Masalan: bizga yetib kelgan SHarq madaniyati meroslari Axmes papirusi va boshqa manbalarda geometriya haqidagi ko’plab ma’lumotlar bor. Geometriya eramizdan avval YІІ-ІІІ asrlarda Osiyo, Gretsiya, Misr va boshqa mamlakatlarda rivojlangan bo’lib, Menexi, Fales, Pifagor va boshqa matematik maktablari vujudga keldi.
Geometriya fanining vujudga kelishiga Platon, Aristotel kabi demokratlarning filosofik maktablar zamin tayyorladi. Ularning yakuni sifatida eramizdan oldingi 300 yillar atrofida Yevklidning ''Boshlang’ichlar'' asari vujudga keldi, uni Arximed o’z yo’nalishlari bilan to’ldiradi. SHunday qilib, eramizdan avval ''Elementar geometriya'' fani vujudga kelib, to XІX asr Lobachevskiy geometriyasigacha uni o’zgarmas ilohiy fan sifatida qaragan edi va u akademik litseylarda o’qitilardi. Hozirgi Pogorelovning geometriyasidan ozgina farqli. Geometriyadagi tushunchalar, aksiomalar, ta’riflar va teoremalarni kiritish shartlariga to’xtab o’tamiz. ''Mavjud'', ''to’plam'', ''sinf'', ''to’plamga tegishli'', ''isbot'', ''son'', ''tenglama'' va boshqa tushunchalarning mazmunini boshqa matematik fanlar ochib beradi. Geometriyada esa bu tushunchalarning mazmuni va ma’nosi aniq deb hisoblaniladi. SHu bilan birga geometriyadagi ko’pgina tushunchalar bo’lib, ular o’zidagi oldin kiritilgan tushunchalarga asoslanib ta’rif orqali yoki boshlang’ich tushunchalar orasidagi bog’lanishni o’rnatish orqali kiradi.
Teoremalarni isbotlashda ta’rif, aksiomalar va o’zidan oldin isbot qilingan teoremalardan foydalaniladi.
Geometrik figura deb, ixtiyori bo’sh bo’lmagan nuqtalar to’plamiga aytiladi.
Geometriya-figuralarning xossalarini o’rganish bilan shug’ullanadi. Geometrik figuralar juda xilma-xildir. Geometrik figuralarning bo’lagi ham geometrik figuradir. Bir nechta geometrik figuraning birlashmasi yana geometrik figuradir.
Teoremaning tuzilishi haqida umumiy tushuncha. O`rta maktab kursidan ma’lumki, matematikani o`rganishda teoremalar deb ataluvchi so`zlar bilan ishlashga to`g`ri keladi. Tushunchalarning asosiy bo`lmagan va ta’riflarga kiritilmagan xossalari, odatda isbotlanadi. Tushunchalarning isbot qilinadigan xossalari teoremalar deyiladi.
Ular har xil ko`rinishda ifodalanishidan qat’iy nazar, isbotlashni talab qiladigan fikrlardir. Shunday qilib, teorema-bu xossadan xossaning kelib chiqishi haqidagi fikr. Bu fikrning rostligi isbotlash yo`li bilan aniqlanadi.
Isbotlashni amalga oshirish uchun mulohaza, predikat va kvantorlarga asoslangan teoremalarni tuzilishini bilish lozim. Quyidagi teoremani qaraylik: “Agar nuqta kesmaning o`rta perpendikularida yotsa, u holda nuqta kesmaning uchlaridan teng uzoqlikda yotadi.”
Bunda “ nuqta kesmaning o`rta perpenikularida yotadi” ga’i teoremaning sharti, “nuqta kesmaning uchlaridan teng uzoqlikda yotadi” ga’i teoremaning xulosasi hisoblanadi.
Teorema so'zi grekcha so'z bo'lib, uning lug'aviy ma'nosi «qarab chiqaman» yoki «o'ylab ko'raman» demakdir, shuning uchun ham maktab matematika kursida teoremaga quyidagicha ta'rif berilgan: “ Isbotlashni talab etadigan matematik hukm teorema deyiladi”.
Maktab matematika kursida teoremalarning quyidagi turlari mavjuddir:
1. To'g'ri teorema.
2. Teskari teorema.
3. To'g'ri teoremaga qarama-qarshi teorema.
4. Teskari teoremaga qarama-qarshi teorema.
To'g'ri va unga nisbatan teskari bo'igan teorema tushunchalarini o'quvchilarning ongida shakliantirishni - VI sinf geometriya kursining birinchi darslaridan boshiab am alga oshirish kerak. MasaIan, quyidagi ikkita tushunchani olib qaraylik.
1. Bu figura parallelogrammdir.
2. Bu figura to'rtburchakdir.
Berilgan bu ikkala hukm o'zaro bog'liqdir. Boshqacha aytganda, birinchisining haqiqatligidan ikkinchining haqiqatligi kelib chiqadi, ammo ikkinchisining mavjudligidan birinchisining haqiqatligi har doim ham kelib chiqavermaydi. Bu yerda biz paralellogramlar sinfini to'rtburchaklar sinfiga kiritdik. Yuqoridagidek bog'lanishlar geometriya kursining birinchi darslaridan boshlab tekshirayotgan matematik hukmlarning ichki o'zaro bog'lanishini ochib beradi. «Agar burchaklar teng bo'lsa, u holda ular ichki almashinuvchi burchaklardir». Agarteoremadagi shart va xulosaning o'zaro bog'liqIigini «agar», «U holda» so'zlari bilan bog'lansa, bunda o'quvchilar teoremaning sharti, natijasi va ular orasidagi bog'lanish haqida chuqurroq tasavvurga ega bo'ladi. Masalan, agar bir uchburchakning ikki tomoni ikkinchi uchburchakning ikki tomoniga mos ravishda teng bo'lsa, bunday uchburchaklar teng bo'ladi. Bu aytilgan teoremaning shartidan uning xulosasi kelib chiqmaydi, ammo uning xulosasidan sharti har doim kelib chiqadi.
Maktab geometriya kursida shunday teoremalar borki, ularning shartidan xulosasining to'g'riligi va aksincha, xulosasidan shartining to'g'riligi kelib chiqadi. Masalan:

1. 
   Agar to'g'ri chiziq burchak bissektrisasi bo'lsa, u berUgan burchakni teng ikkiga bo'ladi.
   

Bunga teskari bo'lgan teorema ham o'rinlidir: «Agar to'g'ri chiziq burchakni tenglikkiga bo'lsa, bu to'g'ri chiziq shu burchakning bissektrisasidir». Bundan ko'rinadiki, teorema shartining mavjudligidan uning xulosasining haqiqiyligi kelib chiqsa va aksincha, uning xulosasining mavjudligidan haqiqatligi kelib chiqsa, teoremaning shart va xulosalarida qatnashayotgan «agar» va «U holda» bog'lovchilarining o'rinlari o'zgaradi.
Agar biz shartli ravishda berilgan teoremani to'g'ri teorema desak, bu teoremadagi shart va xulosalarning o'rinlarini almashtirish natijasida hosil qilingan teoremani teskari teorema deb ataladi. Endi to'g'ri va teskari teoremalarning berilishi hamda ularni isbotlash uslubiyatini ko'rib chiqaylik.

1. 
   To'g’ri teorem a: «Agar uchburchakning biror tomoni katta bo'lsa, u holda ana shu katta tomon qarshisida katta burchak yotadi».
   

Berilgan:𝛥ABC , BC > AB. Isbot qiIish kerak: A > C.
Isboti. ABC uchburchakning BC tomonida AB tomonga teng BD=AB kesmani o'lchab, ana shu D nuqtani A nuqta bilan birlashtiriladi ( chizma), natijada ABD teng yonli uchburchak hosil bo'ladi.

ABD uchburchak teng yonli bo'lgani uchun ⦟BAD=⦟BDA. BDA burchak ADC burchakning tashqi burchagi bo'lgani uchun ⦟BAD=⦟C+⦟DAC bo'ladi, bun dan ⦟BAD> ⦟ C ekani kelib chiqadi. Bu yerdagi BAD burchak A burchakning bir qismi ⦟A >⦟C.
Teskari teorema: «Agar uchburchakning biror burchagi katta bo'lsa, u holda ana shu katta burchak qarshisida katta tomon yotadi».
Berilgan:𝛥ABC, ⦟A> ⦟ C.
Isbot qilish kerak: BC>AB.
Isboti. 1) ABC uchburchakning AB tomoni hech qachon BC tomonidan katta bo'la olmaydi, chunki to'g'ri teoremada biz katta tomon qarshisida katta burchak yotadi, deb isbot qildik, aks holda ⦟ C> ⦟A ligi kelib chiqadi, bu esa teorema shartiga ziddir.
2) AB tomon BC tomonga teng ham bo'la olmaydi, chunki ⦟ABC teng yonli emas, agar teng yonli bo'lganda edi ⦟C>⦟A tenglik o'rinli bo'lib, bu ham teorema shartiga zid bo'lar edi.
3) Agar AB tomon BC tomondan katta bo'lmasa yoki unga teng bo'lmasa, u holda BC > AB ligi kelib chiqadi.
Isbotlash - deduktiv xulosa chiqarish zanjiri, demakdir. Har qanday isbotlash jarayoni quyidagi uch qismni o'z ichiga oladi:
1. Teoremaning bayoni - isbot talab etiladigan holat.
2. Argumentlar - teoremani isbotlash jarayonida ishlatilgan matematik hukmlar.
3. Isbotlash - deduktiv xulosa chiqarish orqali teorema xulosasida topish talab qilingan norna'lumni uning shartlari harnda awaldan rna'lum bo'lgan argumentlardan foydalanib keltirib chiqarish.
Teoremani isbotlashga kirish va uni isbotlash jarayonida o'qituvchi yordamlda o'quvchilar quyidagi rnantiqiy ketrna-ketlikka ega bo'lgan bosqichlami bajarishlari kerak:
1) Teorernaning sharti va umng xulosasi nimadan iborat ekanligini to'la tushunib olishlari kerak.
2) Ana shu teorernaning shart va xulosasida qatnashayotgan har bir rnatematik tushunchaning rna'nosini bilishlari kerak.
3) Teoremaning shart va xulosa qismlarini maternatik sirnvollar orqali ifodalashlari kerak.
4) Teorernaning shartida qatnashayotgan rna'lurn parametrlar teorema xulosasidagi norna'lurnni aniqlay oladirni yoki yo'qrni ekanligini bilishlari kerak.
5) Teoremani isbotlash jarayonida teoremadagi shartlardan teorema xulosasining to'g'riligini ko'rsatuvchi natijalar keltirlb chiqarishi kerak.
6) Teoremani isbotlash jarayonidagi mantiqiy mulohazalarda teoremaning shartidan to'la foydalanishlari kerak.
7) Teorema isbot qilib bo'lingach, isbotlashda qo'llanilgan metodni ko'zdan kechirish va imkoni bo'lsa, isbotlashning boshqa usullarini qidirlb top ish kerak.
Maktab matematika kursidagi teoremalami isbotlash ikki usulda amalga oshiriladi.
1) Bevosita isbotlash usuli (to'g'ri isbotlash usuli);
2) Bilvosita isbotlash usuli (teskarisidan faraz qilish usuli);
Bevosita isbotlash usuli jarayonida teoremaning shartida qatnashayotgan ma'lum va parametrlardan hamda avvaldan ma'lum bo'lgan aksioma, ta'rifva teoremalardan foydalangan holda mantiqiy mulohaza yuritib, teorema xulosasida talab qilingan noma'lumlar topiladi. Teoremalarni bun day isbotlash analiz va sintez orqali amalga oshiriladi.
Teoremaning xulosasidagi no 'malumlami top ish unga zid bo 'Igan jumlani inkor qilish orqali amalga oshirilgan bo'lsa, uni bilvosta ibotlash usuli deyiladi. Isbotlashning bilvosita usulida biz oldin teorema tasdiqlagan fikrga qarama-qarshi fikrni to'g'ri deb faraz qilamiz: shundan keyin aksiomalar va oidin isbQtlangan teoremalarga asoslanib mulohazalar yuritish yo'li bilan teorema shartiga zid keladigan yoki biror aksiomaga yoki ilgari isbotlangan biror teoremaga zid keladigan xulosaga kelamiz. Shunga ko'ra farazimiz noto'g'ri bo'ladi. Natijada teoremadagi yoki berilgan masaladagi da'vo to'g'ri degan xulosaga kelarniz.
Bilvosita isbotlash ikki xiI usul bilan amalga oshiriladi:
1) Apagogik usul.
2) Ajratish usul.
Apagogik usul ko'pincha teskarisidan faraz qilish metodi deb ham yuritiladi. Quyidagi teoremani apagogik - teskarisidan faraz qilish usuli bilan isbot qilaylik.
Teorema. To'g'ri chiziqning har bir nuqtasidan unga perpendikular to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin va faqat bitta.
Isboti. Faraz qilaylik, a - berilgan to'g'ri chiziq, A unda berilgan nuqta bo'lsin. a to'g'ri chiziqning boshlang'ich nuqtasi A bo'lgan yarim to'g'ri chiziqlaridan birini a₁ bilan belgilanadi, a₁ yarim to'g'ri chiziqdan boshlab 90" ga teng (a₁⌃b₁) burchak qo'yiladi. U holda bl nurni o'z ichiga olgan to'g'ri chiziq a to'g'ri chiziqqa perpendikular bo'ladi. Faraz qilaylik, A nuqtadan o'tib a to'g'ri chiziqqa perpendikular bo'lgan boshqa to'g'ri chiziq mavjud bo'lsin. Bu to'g'ri chiziqning b₁ nur bilan bir tekislikda yotuvchi yarim to'g'ri chizig'i c₁ bilan belgilanadi. Har biri 90" ga teng(a₁b₁) va (a₁,b₁) burchaklar a₁ yarim to'g'ri chiziqdan boshlab bitta yarim tekislikka qo'yilgan. Ammo berilgan yarim tekislikka a₁ yarim to'g'ri chiziqdan boshlab 90° ga teng bitta burchak qo'yish mumkin. Shu sababli A nuqta orqali o'tib a to'g'ri chiziqqa perpendikular bo'lgan boshqa to'g'ri chiziqning mavjudligi mumkin emas. Shu bilan teorema isbotlandi.

Teoremani faqat bir qarashda isbotlash qiyin. Agar siz mantiqiy fikrlash qobiliyatiga ega bo'lsangiz, ushbu fan bo'yicha etarli bilimga ega bo'lsangiz, unda teoremaning isboti siz uchun alohida qiyinchilik tug'dirmaydi. Asosiysi - izchil va aniq harakat qilish.

Hech qanday tafsilotni o'tkazib yubormasligingiz uchun har bir dalilni yozing.
1-qadam.
Bir qator fanlarda, masalan, geometriyada algebra vaqti-vaqti bilan teoremalarni isbotlashi kerak. Keyinchalik, tasdiqlangan teorema sizga muammolarni hal qilishda yordam beradi. Shu sababli, dalilni mexanik ravishda yodlash emas, balki teoremaning mohiyatini chuqur o'rganish juda muhim, shunda keyinchalik biz uni amalda boshqarishimiz mumkin.
2-qadam
Birinchidan, teorema uchun aniq va chiroyli rejani tuzing. Dastlab bilgan narsangizni lotin harflari bilan belgilang. Barcha ma'lum miqdorlarni "Berilgan" maydoniga yozib qo'ying. Keyinchalik, "Isbot" ustunida nimani isbotlashingiz kerakligini aytib bering. Endi siz dalillarga o'tishingiz mumkin. Bu mantiqiy fikrlar zanjiri bo'lib, natijada har qanday bayonotning haqiqati ko'rsatiladi. Teoremani isbotlashda turli xil takliflar, aksiomalar, qarama-qarshi harakatlar va hattoki ilgari isbotlangan boshqa teoremalardan foydalanish mumkin (va ba'zida kerak bo'ladi).
3-qadam
Shunday qilib, isbot - bu harakatlar ketma-ketligi, natijada siz inkor etilmaydigan bayonot olasiz. Teoremani isbotlashda eng katta qiyinchilik - bu isbotlanishi kerak bo'lgan narsani qidirishga olib keladigan mantiqiy fikrlashning aniq ketma-ketligini topishdir.
4-qadam
Teoremani qismlarga ajratib oling va har bir qismni alohida-alohida isbotlab, oxirida kerakli natijaga erishasiz. "Qarama-qarshilik bilan isbotlash" mahoratini o'rganish foydalidir, ba'zi hollarda bu teoremani isbotlashning eng oson yo'li. O'sha. dalilni "boshqacha taxmin qiling" so'zlari bilan boshlang va nima uchun bunday bo'lmasligini asta-sekin isbotlang. Dalilni «bilan tugating, shuning uchun asl bayon to'g'ri. Teorema isbotlandi."
Teo rem a. Qabariq n burchak ichki burchaklarining yig'indisi 180· (n-2) ga teng. Keling bu teoremani matematik induksiya metodi bilan isbotlaymiz .
1. n = 3 bo'lganda S3 = 180·.
2. n = k bo'lganda Sk=180·(k-2) bo'ladi.
Agar n = k uchun Sk=180· (k-2) bo'lca,
n = k + 1 uchun Sk+j = 180· [(k+l)-2] bo'lishini isbotlaymiz.
Bu holni isbot qilish uchun (k + 1) burchakli qabariq ko'pburchak olinadi. AjAk diagonal berilgan ko'pburchakni k burchakli qabariq A1 Ar43 ... A ko'pburchakka va AIA~k+1 uchburchakka ajratadi, u holda Sk+I=Sk+S3 tenglik o'rinli bo'ladi:
Sk+I= 180"(k-2)+ 180°= 1800 [(k-2)+ 1]=1800 [(k+ 1)-2].
Demak, teorema har qanday qabariq n burchak uchun ham o'rinli ekan.
Teoremalarni umumlashtirish jarayonida o'quvchilar uning shart va xulosa qismini o'zaro ajratishlari hamda ular orasidagi o'xshash va farq tomonlarini analiz qilishlari lozimdir.
Analiz qilish quyidagi bosqichlar orqali amalga oshiriladi:
1) teoremada qatnashayotgan xossalarni asosiy va asosiy bo'lmagan xossalar guruhiga ajratiladi;
2) teoremani umumlashtirish uchun uning shartida qatnashayotgan asosiy xossalardan qaysi birining mazmunini o'zgartirish kerakligi aniqlanadi;
3) teorema umumlashgan holda isbot qilinadi.
Isbotlashga oid geometrik masalalar tarkibiga geometrik figuralarni xossa va xususiyatlarini, geometrik figuralar elementlari orasidagi bog‘lanishlarni nazariy jihatdan asoslashga bag‘ishlangan masalalarni kiritish mumkun.
Isbotlashga oid geometrik masalalarni yechishda masalada berilgan va topilishi so‘ralganlarni, ya’ni masalaning sharti va xulosasini aniq ajratish, mustahkam nazariy bilimga ega bo‘lish, tafakkur amallaridan, tahlil va sintez metodlarini to‘g‘ri qo‘llay bilish lozim bo‘ladi.
Umuman matematika kursida isbotlashga oid masalalarni, teoremalarni isbotlash, ayniyatlarni isbotlash va tengsizlikni isbotlashga oid masalalarga ajratish mumkin.
O‘rta maktab matematika kursidan ma’lumki deyarli barcha teoremalar isbotlaniladi.
Tushunchalarning asosiy bo‘lmagan va ta’riflarga kiritilmagan xossalari odatda isbotlanadi.
O‘rta maktab geometriya kursida bunday masalalar tarkibiga quyidagilarni kiritish mumkin bo‘ladi:
Sinuslar teoremasini isbotlash.
Kosinuslar teoremasini isbotlash.
Uchburchak yuzini hisoblash formulalarini isbotlash: