Kirish Egri chiziqli integrallar

Egri chiziqli integral qiymatining integrallash yo‘liga bog‘liq bo‘lmasligi.
Chegaralangan yopiq bog‘lamli sohada ikkita va funksiyalar berilgan bo‘lsin.Bu funksiyalar sohada uzluksiz va xususiy hosilalarga ega bu hosilalar ham shu sohada uzluksiz bo‘lsin.
1)Agar sohada
(19)
bo‘lsa,u holda sohaga tegishli har qanday yopiq chiziq yopiq chiziq bo‘yicha olingan ushbu

integral nolga teng bo‘ladi:

Isbot. yopiq chiziq chegaralangan sohani deylik.Ravshanki, . Grin formulasiga ko‘ra

bo‘ladi.Shartga ko‘ra da, demak da

U holda (14) munosabatdan

bo‘ladi.Demak,
.
2) Agar sohaga tegishli bo‘lgan har qanday yopiq chiziq bo‘yicha olingan ushbu integral

bo‘lsa,u holda quyidagi
(20)
integral va nuqtalarni birlashtiruvchi egri chiziqqa bog‘liq bo‘lmaydi,ya’ni (20) integral qiymati integrallash yo‘liga bog’liq bo‘lmaydi.
Isbot. sohaning va nuqtalarini birlashtiruvchi va shu sohaga tegishli bo‘lgan ixtiyoriy ikkita va egri chiziqni olaylik.Bu holda va egri chiziqlar birgalikda sohaga tegishli bo‘lgan yopiq chiziqni tashkil etadi.Uni bilan belgilaylik:
.
Shartga ko‘ra

bo‘ladi.Integralning xossasidan foydalanib quyidagini topamiz:


Demak,

Bundan esa

ekanligini kelib chiqdi.
Eslatma.Yuqoridagi tasdiq,isbot jarayonidan ko‘rinadiki, egri chiziq soda egri chizqmilar to‘plamidan ixtiyoriy olinganda o‘rinlidir.
3) Agar ushbu
(20)
integral va nuqtalarini birlashtiruvchi egri chiziqqa bog‘liq bo’lmasa,ya’ni integral integrallash yo‘liga bog‘liq bo‘lmasa,u holda

ifoda sohada berilgan biror funksiyaning to‘liq differensiali bo‘ladi.
Isbot.Modomiki,(20) integrallash yo‘liga bog‘liq emas ekan,u holda integral va nuqtalar bilan bir qiymatli aniqlanadi.Shuning uchun bu holda (5) integral quyidagicha ham yoziladi:

Endi nuqtani tayinlab, nuqta sifatida sohaning ixtiyoriy nuqtasini olib,ushbu

integralni qaraymiz.Ravshanki,bu integral ga bog‘liq bo‘ladi:

Bu funksiyaning xususiy hosilalarini hisoblaymiz. nuqtaning koordinatasiga shunday orttirma beraylikki, nuqta va nuqtalarni birlashtiruvchi to‘g‘ri chiziq kesmasi ham sohaga tegishli bo‘lsin.Natijada funksiya ham xususiy orttirmaga ega bo‘ladi:

.
O‘rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanib quyidagini topamiz:

Natijada

bo‘ladi.Bundan

bo‘ladi.Demak,

Xuddi shunga o‘xshash

bo‘lishi ko‘rsatiladi.
Shunday qilib,

bo‘ladi.
4) Agar
(21)
ifoda sohada berilgan biror funksiyaning to‘liq differensiali bo‘lsa u holda

bo‘ladi.
Isbot.Aytaylik,(21) ifoda sohada berilgan funksiyaning to‘liq differensiali bo‘lsin:

Ravshanki,

Keying tengliklardan quyidagilarni topamiz:

Shartga ko‘ra lar sohada uzluksiz.Aralash hosilalarning tengligi haqidagi teoremaga binoan

bo‘ladi.
Shunday qilib,Grin formulasidan foydalangan holda,yuqoridagi 1) – 4) tasdiqlar orasida

munosabat borligi ko‘rsatiladi.

Xulosa.

Xulosa qilib shuni aytish kerakki kurs ishimni yozishim davomida ,,Grin formulasi va uning tadbiqlari’’mavzusida yetarlicha bilimga ega bo‘ldim.Bu mavzu mohiyatini anglab misollarni yechishni o‘zlashtirdim.

Turli xil adabiyotlardan foydalanishni o‘rgandim va shu adabiyotlardan foydalangan holda mavzuning mohiyatini yoritishga harakat qildim.
Bundan tashqari turli xil ta’rif va teoremalarning isbotlarini ham tushunib, yetarlicha ko‘nikma hosil qildim.

Foydalanilgan adabiyotlar.

1. 
   T.Azlarov,X. Mansurov “Matematik analiz” 2-qism.
   
2. 
   Sadullayev,Mansurov “Matematik analiz” 1-2 qism.
   
3. 
   Fixtengols integral va differensial 2-3 qism.
   
4. 
   Fixtengols Matematik analiz 2-3 qism.