Kirish Egri chiziqli integrallar

5.Birinchi tur egri chiziqli integrallarning ba’zi bir tatbiqlari.
Birinchi tur egri chiziqli integrallar yordamida yoy uzunligi,jismning massasini,og‘irlik markazlarini topish mumkin.Quyida biz birinchi tur egri chiziqli integrallar yordamida yoy uzunligi qanday hisoblanishini ko‘rsatamiz.
Tekislikda sodda egri chiziq berilgan bo‘lsin.Bu chiziqda funksiyani qaraylik. Ravshanki,bu funksiya da uzluksiz, funksiyaning birinchi tur egri chiziqli integrali ta’rifidan quyidagini topamiz:
.
Demak,
. (*)
Misol.Ushbu

sistema bilan berilgan chiziqning uzunligi topilsin.Bu chiziq astroidani ifodalaydi.
(*) formulaga ko‘ra astroidaning uzunligi

bo‘ladi.Astroida koordinata o’qlariga nisbatan simmetrik bo‘lishini e’tiborga olib,yuqorida keltirilgan (8) formuladan foydalanib quyidagini topamiz:

Ikkinchi tur egri chiziqli integrallar.


1.Ikkinchi tur egri chiziqli integral ta’rifi.
Tekislikda biror sodda egri chiziqni qaraylik. Bu egri chiziqda funksiya berilgan bo‘lsin. egri chiziqning

bo‘linishini va uning har bir yoyida ixtiyoriy nuqtani ( ) olaylik.Berilgan funksiyaning nuqtadagi qiymatni ning proyeksiyaga ko‘paytirib quyidagi yig‘indini tuzamiz:

Endi , egri chiziqning shunday

bo‘linishlari ketma-ketligini qaraymizki,ularning diametrlaridan tashkil topgan mos

ketma-ketlik nolga intilsin:

bunday bo’linishlarga nisbatan (6) kabi yig‘indilarni tuzib ushbu

ketma-ketlikni hosil qilamiz.Ravshanki,bu ketma-ketlikning har bir hadi,xususan, nuqtalarga ham bog‘liq.
3-ta’rif.Agar egri chiziqning har qanday (18) ko‘rinishdagi bo‘linishlari olinganda ham,unga mos yig‘indilardan iborat
ketma-ketlik nuqtalarning ( )
tanlab olinishiga bog‘liq bo’lmagan ravishda hamma vaqt bitta songa ( songa)
intilsa bu son yig‘indining limiti deb ataladi va


kabi belgilanadi.
yig‘indining bu limitini quyidagicha ham ta’riflash mumkin.
4-ta’rif.Agar olinganda ham, shunday topilsaki,
Egri chiziqning diametri bo‘lganda har qanday bo‘linishi uchun tuzilgan yig’indi uchun ixtiyoriy nuqtalarda


tengsizlik bajarilsa, son ( son) deb ataladi va (7) kabi belgilanadi.
Yig‘indi limitining bu ta’riflari ekvivalent ta’riflari.
5-ta’rif. Agar da chekli limitga ega bo’lsa,u holda funksiya egri chiziq bo‘yicha integrallanuvchi deyiladi.Bu limit funksiyaning egri chiziq bo‘yicha ikkinchi tur egri chiziqli integrali deb ataladi va u

kabi belgilanadi.Demak,


Shunday qilib, egri chiziqda berilgan funksiyadan ikkita - o’qdagi proyeksiyalar vositasida va o’qdagi proyeksiyalar vositasida olingan ikkinchi tur egri chiziqli integral tushunchalari kiritildi.
Faraz qilaylik, egri chiziqda ikkita va funksiyalar berilgan bo‘lib,

lar esa ularning ikkinchi tur egri chiziqli integrallari bo‘lsin.Ushbu

yig‘indi ikkinchi tur egri chiziqli integralning umumiy ko‘rinishi deb ataladi va
kabi yoziladi.Demak,

Ikkinchi tur egri chiziqli integral ta’rifidan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
1-natija.Ikkinchi tur egri chiziqli integral egri chiziqning yo‘nalishiga bog‘liq bo‘ladi.
Shuni isbotlaylik.
Ma’lumki egri chiziqda ikkita yo‘nalish (А nuqtadan В nuqtaga va В nuqtadan А nuqtaga ) olish mumkin ( egri chiziqning yuqoridagi bo‘linishini olib,bu bo‘linishga nisbatan (6) yig‘indini tuzamiz:

Aytaylik, dab u yig‘indi chekli limitga ega bo‘lsin.Demak,

Endi ning o‘sha bo‘linishini hamda har bir dagi o‘sha nuqtalarni olib, egri chiziqning yo‘nalishi esa В dan А ga qarab deb ushbu yig‘indini tuzamiz:

dab u yig‘indi chekli limitga ega bo‘lsa,u ta’rifga binoan ushbu

integral bo‘ladi:

Agar

ekanligini e’tiborga olsak,u holda da yig‘indining chekli limitga ega bo‘lishidan yig‘indining ham chekli limitga ega bo‘lishi va

tenglikning bajarilishini topamiz.Demak,
=- .
Xuddi shunga o‘xshash
=-
bo‘ladi.
2-natija. egri chiziq o‘qiga ( o‘qiga ) perpendikulyar bo‘lgan to‘g‘ri chiziq kesmasidan iborat bo‘lsin. funksiya shu chiziqda berilgan bo‘lsin.
U holda

mavjud bo‘ladi va
=0
Bu tenglik bevosita ikkinchi tur egri chiziqli integral ta’rifidan kelib chiqadi.
Endi -sodda yopiq egri chiziq bo‘lsin,ya’ni, А va В nuqtalar ustma-ust tushsin.Bu yopiq chiziqni deb belgilaylik.Bu sodda yopiq chiziqda ham ikki yo‘nalish bo‘ladi.Ularning birini musbat yo‘nalish,ikkinchsini manfiy yo‘nalish deb qabul qilaylik.Shunday yo‘nalishni musbat deb qabul qilamizki,kuzatuvchi yopiq chiziq bo‘ylab harakat qilganda,yopiq chiziq bilan chegaralangan soha unga nisbatan har doim chap tomonda yotsin.
Faraz qilaylik, soda yopiq chiziqda funksiya berilgan bo‘lsin.Bu chiziqda ixtiyoriy ikkita turli nuqtalarni olib,ularni va bilan belgilaylik.Natijada yopiq chiziq ikkita va chiziqlarga ajraladi.
Ushbu

integral (agar u mavjud bo‘lsa) funksiya yopiq chiziq bo‘yicha ikkinchi tur egri chiziq integrali deb ataladi va

kabi belgilanadi.Bunda yopiq chiziqning musbat yo‘nalishi olingan. (bundan buyon yopiq chiziq bo‘yicha olingan integrallarda,yopiq chiziq musbat yo‘nalishda deb qaraymiz).Demak,
= .
Xuddi shunga o‘xshash

hamda,umumiy hol
+
integrallar ta’riflanadi.
fazoviy egri chiziq bo‘lib,bu chiziq funksiya berilgan bo‘lsin.Yuqoridagidek, funksiyaning bo‘yicha ikkinchi tur egri chiziq integrallari ta’riflanadi va ular

kabi belgilanadi.Umumiy holda da funksiyalar berilgan bo‘lib, ushbu

integrallar mavjud bo‘lsa,u holda



yig‘indi ikkinchi tur egri chiziqli integralning umumiy ko‘rinishi deb ataladi va u



kabi belgilanadi.Demak,