Kirish Egri chiziqli integrallar

Grin formulasi va uning tatbiqlari.
Ma’lumki,Nyuton–Leynist formulasi funksiyaning oraliq bo‘yicha olingan aniq integralini shu funksiya boshlang‘ich funksiyasining oraliq chekkalari(chegaralari) dagi qiymatlari orqali ifodalanar edi.Biror sohada berilgan uzluksiz funksiyaning ikki karrali

integralini tegishli funksiyaning shu soha chegarasidagi qiymatlari orqali ifodalaydigan formulalar ham mavjud.Quyida bu formulani keltiramiz.
1.Grin formulasi.Yuqoridan funksiya grafigi,yon tomonlardan vertikal chiziqlar hamda pastdan funksiya grafigi bilan chegaralangan soha egri chiziqli trapetsiyani qaraylik.Bu sohani bilan,uning chegarasi – yopiq chiziqni bilan belgilaylik.

Ravshanki, funksiya grafigi funksiya grafigi hamda

funksiya shu sohada berilgan va uzluksiz bo‘lib, xususiy hosilaga ega va u ham da uzluksiz bo‘lsin.U holda ushbu integral mavjud bo‘ladi.

bo‘ladi.Endi

bo‘lishini e’tiborga olib quyidagini topamiz:

bo‘ladi.Demak,
Ravshanki,

Bu tengliklarni hisobga olib quydagini topamiz:

Demak,
(1)
Endi yuqoridan , patdan chiziqlar,yon tomondan esa funksiyalar grafiklari bilan chegaralangan soha–egri chiziqli trapetsiyani qaraylik.Bu sohani bilan,uning chegarasi–yopiq chiziqni bilan belgilaylik.
funksiya shu sohada berilgan,uzluksiz bo‘lib, xususiy hosilaga ega va bu hosila da uzluksiz bo‘lsin.U holda
(2)
bo‘ladi.
Bu formulaning to‘g‘riligi yuqoridagidek mulohaza yuritish bilan isbotlanadi.
Endi fazoda qaralayotgan soha yuqoridagi ikki holda qaralgan sohaning har birining harakteriga ega bo‘lgan soha bo‘lsin, esa uning chegarasi bo‘lsin.Bu sohada ikkita va funksiyalar berilgan,uzluksiz bo‘lib,ular xususiy hosilalarga ega hamda bu hosilalar ham da uzluksiz bo‘lsin.Ravshanki,bu holda (1) va (2) formulalar o‘rinli bo‘ladi.Ularni hadlab qo‘shib quyidagini topamiz:
(3)
Bu Grin formulasi deb ataladi.
Demak,Grin formulasi soha bo‘yicha olingan ikki karrali integralni shu soha chegrasi bo‘yicha olingan egri chiziqli integral bilan bog‘laydigan formula ekan.
Biz yuqorida Grin formulasini maxsus ko‘rinishdagi sohalar uchun keltirdik.Aslida bu formula ancha keng sinfdagi sohalar uchun ham to‘g‘ri bo‘lib,bu faqat u sohalarini chekli sondagi egri chiziqli trapetsiyalar yig‘indisi sifatida tasvirlash bilan isbot qilinadi.