Kirish Egri chiziqli integrallar

2.Uzluksiz funksiya birinchi tur egri chiziqli integrali.
Endi birinchi tur egri chiziqli integralning mavjud bo’lishini ta’minlaydigan shartni topish bilan shug‘ullanamiz.Yuqorida keltirilgan 3-ta’rifdan ko‘rinadiki,birinchi tur egri chiziqli integral egri chiziqqa hamda unda berilgan funksiyaga bog‘liq bo‘ladi.Demak,integralning mavjud bo’lishi shartini egri chiziq hamda funksiyaga qo‘yiladigan shartlar orqali topish kerak bo‘ladi.
Faraz qilaylik, egri chiziq ushbu
(4)
sistema bilan berilgan bo‘lsin.Bunda yoyning uzunligi esa ning uzunligi. funksiya shu egri chiziqda berilgan bo‘lsin, modomiki, ekan,unda bo‘lib,natijada ushbu

murakkab funksiyaga ega bo‘lamiz.
egri chiziqning bo‘linishini va har bir da ixtiyoriy nuqtani olaylik.Har bir nuqtaga mos keladigan ning uzunligi , har bir nuqtaga mos keladigan ning uzunligi deylik.Ravshanki, ning uzunligi bo‘ladi.
Natijada bo‘linishga nisbatan tuzilgan

yig‘indi ushbu

ko‘rinishga keladi.Demak,
(5)
bu yig‘indini oraliqdagi funksiyaning integral yig‘indisi ekanligini payqash qiyin emas.
Agar funksiya egri chiziqda uzluksiz bo‘lsa,u holda funksiya da uzluksiz bo‘ladi.Demak,bu holda funksiya da integrallanuvchi:
(6)
Shunday qilib, (5), (6) munosabatlardan da yig‘indining limiti mavjud bo‘lishi va

ekanligini topamiz.Natijada quyidagi teoremaga kelamiz.
1-teorema.Agar funksiya egri chiziqda uzluksiz bo‘lsa,u holda bu funksiyaning egri chiziq bo‘yicha birinchi tur egri chiziqli integrali mavjud bo‘ladi va

bo‘ladi.
Bu teorema,bir tomondan uzluksiz funksiya birinchi tur egri chiziqli integralining mavjudligini aniqlab bersa,ikkinchi tomondan bu integralning aniq integralga(Riman integraiga) kelishini ko‘rsatadi.
1-eslatma.Egri chiziqli integral tushunchasi bilan Riman integrali tushunchasini solishtirib,ularning har ikkalasi yig‘indining limiti sifatida ta’riflanishini ko‘rdik.Ayni paytda bu tushunchalarning farqli tomoni ham bor.Ushbu
(5)
yig‘indidagi har doim musbat bo‘lib, egri chiziqning yo‘nalishiga bog‘liq emas.Demak
.