Kirish Egri chiziqli integrallar

2.Uzluksiz funksiya ikkinchi tur egri chiziqli integrali.
Endi ikkinchi tur egri chiziqli integralning mavjud bo‘lishini ta’minlaydigan shartni topish bilan shug‘ullanamiz.
Faraz qilaylik, egri chiziq ushbu



sistema bilan (parametrik formada) berilgan bo‘lsin.Bunda funksiya da hosilaga ega va bu hosila shu oraliqda uzluksiz, funksiya ham da uzluksiz hamda ( , )=А va ( , )=В bo‘lsin.
parametrga dan ga qarab o‘zgarganda =( , А dan В ga qarab ni chiza borsin.
2-teorema.Agar funksiya da berilgan va uzluksiz bo‘lsa,u holda,bu funksiyaning egri chiziq bo‘yicha ikkinchi tur egri chiziqli integrali

mavjud va

bo‘ladi.
Isbot. oraliqning

bo‘linishini olaylik.Bu bo‘linishning bo‘luvchi nuqtalari ning dagi mos akslarini deylik
Ravshanki,bu nuqtalar egri chiziqning

bo‘linishini hosil qiladi.Bunda bo‘ladi.Bu bo‘linishga nisbatan (6) yig‘indi



tuzamiz.Keyingi tenglikda ning o‘qdagi proyeksiyasi ga tengdir.
Lagrang teoremasidan foydalanib topamiz:



ma’lumki, Agar bu nuqtaga akslanuvchi nuqtani deyilsa,unda bo‘ladi.Natijada yig‘indi quyidagi ko‘rinishga keladi:

Endi da (bu holda ham nolga intiladi) yig‘indining limitini topish maqsadida uning ifodasini o‘zgartirib quyidagicha yozamiz:



Bu tenglikning o‘ng tomonidagi ikkinchi qo‘shiluvchini baholaymiz:

bunda

funksiya da uzluksiz.U holda Kontor natijasiga ko’ra, olinganda ham shunday topiladiki, oraliqning diametri bo‘lgan har qanday bo‘linish uchun

bo‘ladi.Unda

demak ,

bo‘ladi.Bu munosabatni e’tiborga olib, tenglikda da limitga o‘tib quyidagini topamiz:

Demak,

Teorema isbot bo‘ldi. Endi ( ) sistemada funksiya da uzluksiz, funksiya esa da hosilaga ega va bu hosila shu oraliqda uzluksiz bo‘lsin.
3-teorema.Agar funksiya da berilgan va uzluksiz bo‘lsa,u holda bu funksiyaning egri chiziq bo‘yicha olingan ikkinchi tur egri chiziqli integrali

mavjud va

bo‘ladi.
Bu teorema 2-teorema kabi isbotlanadi.
Bu teoremalar,bir tomondan,uzluksiz funksiya ikkinchi tur egri chiziqli integralning mavjudligini aniqlab bersa,ikkinchi tomondan,bu integral(Riman integrali) orqali ifodalanishini ko‘rsatadi.
egri chiziq (9) sistema bilan berilgan bo‘lib, , funksiyalar da , hosilalarga ega va bu hosilalar uzluksiz bo‘lsin.
egri chiziq ikkita funksiyalar berilgan bo‘lib,ular shu chiziqda uzluksiz bo‘lsa,u holda

bo‘ladi.