Kirish differensial tenglamalar

CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR

1.1Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar

MAVZU: TO’LA DIFFERENSIALLI TENGLAMALAR. LAGRANJ VA KLERO TENGLAMALARI

1. 
   Bernulli tenglamasi.
   
2. 
   To’la differensialli tenglama.
   

Mavzu rejasi:

3. 
   Klero va Lagranj tenglamalari.
   

1. To’la differensialli tenglama

Ta’rif: Agar
M (x, y)dx N(x, y) 0
(1)

tenglamada bular uchun

M (x, y)

va N (x, y)

funksiyalar uzluksiz differensiallanuvchi bo’lib,

M _N

y x

(2)

munosibat bajarilsa (1) tenglama to’la differensialli tenglama deyiladi. Bunda

M _va N

N x

funksiyalar biror sohada uzluksiz funksiyalardir. Agar (1)

tenglamaning chap tomoni to’la differensial bo’lsa, u holda (2) shartning bajarilishi va aksiga (2) shart bajarilsa (1) tenglamaning chap tomoni to’la differensial bo’lsa, u holda (2) shartning bajarilishi va aksiga (2) shart bajarilsa,

1. 
   tenglamaning chap tomoni biror
   

u(x, y)

funksiyaning to’la bo’lishini

isbotlaymiz, ya’ni (1) tenglamani ko’rinishi

du(x, y) 0
(3)

bo’ladi, demak uning umumiy integrali

u(x, y) C

bo’ladi.

Dastlab, (1) tenglamaning chap tomonini biror

u(x, y)

funksiyaning to’la

differensiyali deb faraz qilamiz, ya’ni

M (x, y)dx N (x, y)dy du ^u dx ^u dy .

U holda

(4)
M ^u ,

x

x y
_{N }u

y

ni birinchisini y bo’yicha, ikkinchisini x bo’yicha xususiy hosilalarini topamiz.

M ²u

 ,

y xy

N ²



x yx

Ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini uzluksiz deb faraz qilsak,

M _N

y x

bo’ladi,

ya’ni (2) tenglik (1) tenglamaning chap tomoni biror

u(x, y)

funksiyaning to’la

differensiali bo’lishining zaruriy shartidan biridir. Bu shartning yetarli shart bo’lishi, ya’ni (2) tenglik bajarilganda (1) tenglamaning chap tomoni biror

u(x, y)

funksiyaning to’la differensiyali bo’lishini ko’rsatamiz.

x

^u M (x, y)

x

munosabatdan

u _M (x, y)dx ( y) ni topamiz, bunda

x₀

x₀ -mavjud bo’lgan

sohadagi ixtiyoriy nuqtaning abssissasi. x bo’yicha integrallashda y ni o’zgarmas deb hisoblaymiz va shuning uchun integrallashda hosil bo’lgan ixtiyoriy o’zgarmas y ga bog’liq bo’lishi mumkin. y ni (4) munosabatlardan ikkinchisi bajariladigan qilib tanlab olamiz. Buning uchun keyingi tenglikni

ikkala tomonini y bo’yicha differensiallab natijani

M (x, y) ga tenglasak:

u ^x M

M N

y _x


 dx ( y) N (x, y) , ammo,

y

0

^x N



y x
x

bo’lgani uchun quyidagini

x
yozamiz _{}dx ^( y) N (x, y)

x₀

dan

N (x, y)

x₀

^( y) N (x, y)

yoki

N(x, y) N(x₀ , y) ^( y) N(x, y)

x

Demak,

^( y) N(x₀ , y₀ )

x

yoki
x

( y) _N (x, y)dy C₁ . Shunday qilib,

x₀

u(x, y)

funksiya

u(x, y) _M (x, y)dx _N (x, y)dy C₁

ko’rinishda bo’ladi. Bunda

P(x₀ , y₀ )

x₀ x₀

shunday nuqtani, uning biror atrofida (1) tenglamaning yechimi mavjud. Bu ifodani ixtiyoriy C o’zgarmas miqdorda tanlab, (1) tenglamaning umumiy integralini hosil qilamiz.

x x

_M (x, y)dx _N (x₀ , y)dy C

x₀ x₀

Xuddi shunga o’xshash

x x

_M (x, y₀ )dx _N (x, y)dy C

(6)

x₀ x₀

bo’ladi.

2-misol:

2
2x _{dx }y _y2
3x²

_y4
dy 0 tenglamani umumiy integralini toping.

y² 3x²

Yechish: Bu yerda

M ^2x ,

_y2

N  ( y 0 ) deb olamiz, u holda

_y4

M _6 x _,

N _6 x

y y⁴ x y⁴

Demak, (2) shart bajariladi. U holda tenglamani chap tomoni

u(x, y) funksiyaning to’la differensiyali bo’ladi. Bu funksiyani topamiz:

du _2x

2x x²

dx y³

bo’lagani uchun

u _y3 dx ( y) _y3 ( y) , bunda

( y)

funksiya y ning

noma’lum funksiyasi. Buni y bo’yicha differensiallab va

^u N 

y

y² 3x²


_y4

ekanligini e’tiborga olib,

3x²



_y4

^( y) 

x² 1

y²3x²

_y4

bo’lishini topamiz. Demak,

^( y) ¹ ,

( y) ¹ C , u(x, y) 

 C .

y² y ¹

y³ y ¹

2

Shunday qilib, dastlabki tenglamaning umumiy integrali

^x ¹ C y³ y

yoki

x² y² Cy³

bo’ladi.

2. Integrallovchi ko’paytuvchi

Bizga

M (x, y)dx N(x, y)dy 0

(1)

tenglama berilgan bo’lsin va uning chap tomoni biror funksiyali to’la

differensiyali bo’lmasin. U holda, ba’zan, shunday

(x, y)

funksiyani tanlab

olish mumkin bo’ladiki, tenglamaning barcha hadlarini shu ko’paytuvchiga ko’paytirilganda tenglamaning chap tomoni biror funksiyani to’la differensialini beradi. Shu usul bilan topilgan tenglamaning umumiy yechimi dastlabki

tenglamani umumiy yechimi bilan bir xil bo’ladi.

(x, y)

funksiya (1)

tenglamaning integrallovchi ko’paytiruvchisi deyiladi. Integrallovchi

ko’paytuvchini topish uchun hozircha bizga noma’lum bo’lgan har ikkala tomonini ko’paytiramiz:

(x, y) ga (1)ni

Mdx Ndy 0 . (2)

2. 
   tenglama to’la differensialli tenglama bo’lishi uchun quyidagi tenglik bajarilishi zarur va yetarlidir
   

(M ) _(N )

, (3)

ya’ni

y x

_M

_M _N _N 

yoki

y x x x

_M 

_N 

^N



_

M ^

 _. (4)

y x

_x

y _

Bu tenglamani har ikkala tomonini ga bo’lib,

_M ln _N ln _N _M
(5)

y x

x y

tenglik hosil qilamiz. (5) tenglamani qanoatlantiruvchi har qanday

(x, y)

funksiya (1) tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi bo’ladi. (5) tenglama ikkita x va y o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lgan noma’lum funksiyaga nisbatan xususiy hosilali tenglamadir. Ma’lum shartlar bajarilganda bu tenglamani yechimlari cheksiz ko’p ekanini va (1) tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi bor ekanligini isbotlaymiz. Ammo, umumiy holda (5)

tenglamaning integralovchi ko’paytuvchisi

(x, y) ni topish (1) tenglamani

integrallashga nisbatan qiyinroq. Faqat ba’zi xususiy hollardagina

(x, y)

topish

mumkin. Masalan, (1) tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi faqat y ga

N _M

bog’liq bo’lsin. Bu holda

ln _0

x

va ni topish uchun

ln _

y

x y

M

oddiy

differensial tenglama hosil bo’ladi: bunda (bitta kvadratura bilan)

N _M

ln 

aniqlanib

undan topiladi. Bunday ish ko’rish

x y

M

ifoda x ga bog’liq bo’lmagan

N _M

holdagina qo’llaniladi. Shunga o’xshash, agar

x y

N

ifoda y ga bog’liq

bo’lmasdan, faqat x ga bog’liq bo’lsa, u holda faqat x ga bog’liq bo’lmagani integrallovchi ko’paytuvchi oson topiladi.

3-misol:

( y xy² )dx xdy 0

tenglamni yeching.

Yechish: Bu yerda

M y xy² , N x ,

M _N

y x

Demak, to’la differensialli

tenglama emas. Bu tenglamani faqat y ga bog’liq bo’lgan integrallovchi ko’paytuvchisi bor ekanlini tekshiramiz.

N _M

x y

_1 1 2xy _2

ekanligidan integrallovchi ko’paytuvchisi bor degan

M y xy² y

xulosaga kelamiz va uni quyidagicha topamiz.

ln _2 _

ln 2ln y 

¹ .

y y y²

Berilgan tenglamani har ikkala tomonini ga ko’paytirib,

M _N _1

y x y²

bo’lganini, ya’ni to’la differensialli tenglama hosil qilinganligiga ishonch hosil

2

qilamiz va tenglamani yechib,

x _x

C 0 

y  ^2x

umumiy

y 2

yechimini topamiz.

x² 2C

Birinchi tartibli differensial tenlamalarning maxsus yechimlari.

Klero va Lagranj tenglamasi

Faraz qilaylik

F (x, y, ^dy ) 0

dx
(1)

differensial tenglamaning umumiy integrali

Ф(x, y, C) 0
(2)

tenglamaga mos integral egri chiziqlar oilasining o’ramasi mavjud, deb faraz qilamiz. Bu o’rama (1) differensial tenglamani integral egri chizig’i bo’ladi.

Ta’rif: Agar L chiziq o’zining har bir nuqtasi bilan bir parametrli chiziqlar oilasining u yoki bu chizig’iga urinsa, L chiziq bir parametrili chiziqlar oilasining o’ramasi deyiladi. (1-rasm).

3. Klero tenglamasi

Klero tenglamasi deb ataluvchi

^dy ^dy 

y x

_{ }

(1)

dx _dx _

tenglama berilgan bo’lsin. Bu tenglama yordamchi parametr kiritish usuli bilan

integrallanadi. Agar

dy _p dx

deb olsak, (1) tenglama quyidagicha bo’ladi.

y xp ( p)

(2)

p ^dy ni x ning funksiyasi ekanligini e’tiborga olib, so’ngra tenglamani barcha

dx

hadlarini x bo’yicha differensiallaymiz.

p x ^dp p ^( p) ^dp 

dx dx

x ^( p)^dp 0

dx
(3)

ni hosil qilamiz. Har bir ko’paytuvchini alohida nolga tenglab,

dp _0

dx
(4)

va

(5)

tengliklarni hosil qilamiz:

1. 
   (4) tenglikni integrallasak ga qo’ysak, uni
   

x ^( p) 0

p C (C const) bo’ladi, p ning bu qiymatini (2)

y xC (C)

(6)

umumiy integralni topamiz; bu geometrik nuqtai nazardan to’g’ri chiziqlar oilasi bo’lishligini ko’rsatadi.

2. 
   Agar (5) tenglamadan p ni x ning funksiyasi kabi topsak, uni (2)
   

tenglikka qo’ysak, u holda

y xp(x) p(x)

(7)

hosil bo’ladi: bu funksiya (1) tenglamaning yechimi bo’lishini ko’rsatamiz.

Haqiqatan ham, (5) tenglikka muvofiq

^dy p x ^( p)^dp p . Shuning uchun

dx dx

(7) funksiyani (1) tenglamaga qo’yib,

xp ^( p) xp ( p)

ayniyatni hosil qilamiz. (7) yechim (6) umumiy integraldan C ning hyech bir qiymatida hosil bo’lmadi. Shuning uchun bu maxsus yechimdir. Bu yechim

y xp(x) p(x),

x ^( p) 0

tenglamalar sistemasidan C parametrni

yo’qotish natijasida yoki

^{y xC (C)}



_x _C^(C) 0

tenglamalar sistemasidan C parametrni

yo’qotish natijasida hosil qilinadi. Demak, Klero tenglamasining maxsus yechimi (6) umumiy integral bilan berilgan to’g’ri chiziqlar oilasining o’ramasini aniqlar ekan.

4-misol:

y xy^

(a 0)

differensial tenglamaning umumiy va

maxsus integrallarini toping.

Yechish: Berilgan tenglamada
y^^dy ning o’rniga C ni qo’ysak,

dx

y xC 

umumiy integral hosil bo’ladi. Maxsus yechimni hosil qilish

uchun keyingi tenglamani C bo’yicha differensiallab

a

3
x  0

1 C² ²

ni topamiz.

 ^a

_x  ₃


U holda maxsus yechim o’rama tenglamalari. ^

1 C ² ²

3

parametrik

_{y } aC



^ 1 C ² ³²

ko’rinishda hosil bo’ladi. Bundan C parametrni yo’qotsak, x va y orasidagi munosabatni bevosita hosil qilishimiz mumkin. Har bir tenglama ikkala

tomonini

² -darajaga ko’tarib va hosil bo’lgan tenglamalarni hadma-had

3

2 2 2

qo’shsak,

x ³ y ³ a ³

maxsus yechimni hosil qilamiz. Bu astroidani

tenglamasidir. Ammo, oilaning o’ramasi maxsus yechimi ham butun astroida bo’lmay, balki uning chap yarimidan iborat, chunki o’ramaning parametrik

tenglamalaridan

x 0

ekanligi ma’lum.

5.Lagranj tenglamasi

Lagranj tenglamasi deb

y x( y^) ( y^)

1. 
   ko’rinishdagi tenglamaga
   

aytiladi, bu yerda va lar

y^^dy

dx

ning ma’lum funksiyalaridir. Bu tenglama

x va y larga nisbatan chiziqli tenglama. Avval ko’rilgan Klero tenglamasi

Lagranj tenglamasini

( y^) y^

bo’lgandagi xususiy holidir. Lagranj

tenglamasini integrallash Klero tenglamasini integrallash kabi yordamchi p

parametr kiritish usuli bilan integrallanadi. Agar

y^p

deb olsak. (1) ni

y x( p) ( p) shaklda yozamiz. (2)ni x ga nisbatan differensiallab,

p ( p) x^( p) ^( p)^dp

dx

ni hosil qilamiz.

Bundan

p ( p) x^( p) ^( p)^dp

dx

3. 
   tenglamani yozamiz. Bu
   

tenglamadan esa ba’zi yechimlarni birdaniga topish mumkin, bu p ning

p₀ ( p₀ ) 0

shartni qanoatlantiruvchi har qanday o’zgarmas

p p₀

qiymatida

ayniyatga aylanadi. Haqiqatan ham, p ning o’zgarmas qiymatida hosila

dp _0

dx

va (3) tenglamaning ikkala tomoni nolga aylanadi. Har bir

p p₀

, ya’ni

^dy  qiymatga mos bo’lgan yechim x ning chiziqli funksiyasi bo’ladi. Buni

dx ^p0

topish uchun (2) tenglamaga

p p₀

qiymatni qo’yamiz

y x( p₀ ) ( p₀ ) . Lekin,

bu yechim integraldan ixtiyoriy o’zgarmas miqdorlarning hyech bir qiymatida hosil bo’lmasa, u holda bu maxsus yechim bo’ladi. Endi umumiy yechimni

topish uchun (3) tenglamani

dx _x dp

^( p) _

p ( p)

^( p)

p ( p)

ko’rinishga yozib va x ni

p ning funksiyasi deb qaraymiz. Bu holda hosil qilingan tenglama p ning x funksiyasiga nisbatan chiziqli differensial tenglama bo’ladi. Uni chiziqli tenglamani yechish formulasiga asosan


^( p )

dp

 ^( p )

• 
  
  
  
  
  dp
  

(4)

_{x e}^p ( p)

^( p)



_{}p ( p)

_e ^p ( p)

^{dp C}

_

topamiz va (2) tenglamadan p parametrni yo’qotsak, (1) Lagranj tenglamasini umumiy integrali

Ô(x, y, C) 0 hosil bo’ladi.

5-misol:

y xy^2 y^2

tenglamani yeching.

Yechish:

y^p

deb olsak,

y xp² p²

bo’ladi. x ga nisbatan differensiallab,

p p² 2xp 2 p^dp

dx

tenglamani hosil qilamiz. Maxsus yechimlari

p₀ 0

(*) va

p₁ 1

bo’lganda,

p p² bo’lgani uchun yechimlar chiziqli funksiyalardan iborat bo’ladi.

y x 0² 0² , ya’ni

y 0 va

y x 1

umumiy integralni topish uchun (*)ni

ko’rinishda yozamiz va x ni erkli o’zgaruvchi R ning funksiyasi deb qaraymiz. Hosil qilingan chiziqli tenglamani integrallaymiz. Bunldan va tenglamalardan R ni yo’qotsak umumiy integral hosil bo’ladi.

Foydalanilgan adabiyotlar

1. 
   Пискунов Н.С. Дифференциал ва интеграл ҳисоб. 1-қисм. –Тошкент: Ўқитувчи, 1985.
   
2. 
   Пискунов Н.С. Дифференциал ва интеграл ҳисоб. 2-қисм. –Тошкент: Ўқитувчи, 1986.
   
3. 
   Соатов Ё.У. Олий математика. 1-жилд. – T.: Ўқитувчи, 1994.
   
4. 
   Соатов Ё.У. Олий математика. 2-жилд. – T.: Ўқитувчи, 1995.
   
5. 
   Соатов Ё.У. Олий математика. 3 -жилд. – T.: Ўқитувчи, 1996.
   
6. 
   Соатов Ё.У. Олий математика. 4 -жилд. – T.: Ўқитувчи, 1998
   
7. 
   Соатов Ё.У. Олий математика. 5 -жилд. – T.: Ўқитувчи, 2000.
   
8. 
   Danko P.E., Popov A.G., Kojevnikova T.E. Oliy matematika mashqlar va masasalarda. 1-qism.– Toshkent, “O’qituvchi”, 2009 y.
   
9. 
   Danko P.E., Popov A.G., Kojevnikova T.E. Oliy matematika mashqlar va masasalarda. 2-qism.– Toshkent, “O’qituvchi”, 2009 y.
   
10. 
    Минорский В.П. Олий математикадан масалалар тўплами. – T.: Ўқитувчи, 1982.
    
11.